Question

2．如图所示，质量为m=2kg的小球从R=40cm的$\frac{1}{4}$竖直圆弧轨道的顶端A点右静止开始下滑，通过圆弧轨道最低点B后做平抛运动，已知B点到地面的竖直高度H=45cm，B点与落地点C点的水平距离L=60cm，不计空气阻力，g取10m/s²，则：
（1）小球通过圆弧轨道最低点B时的速度大小为多少？
（2）小球通过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力为多少？
（3）小球从A点运动到距地面$\frac{H}{2}$的D点（D点未标出）的过程中有多少机械能转化为内能？

Answer 1

分析 （1）小球离开B点后做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得小球通过B点的速度．
（2）小球通过B点时，对小球受力分析，由向心力的公式可以求得小球受到的支持力的大小，在根据牛顿第三定律可以知道对轨道的压力大小．
（3）从B运动到D，机械能不变，小球只有在AB段有机械能损失．根据能量守恒求解．

解答 解：（1）设小球离开B点做平抛运动的时间为t．
由H=$\frac{1}{2}$gt² 
得：t=$\sqrt{\frac{2H}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×0.45}{10}}$s=0.3 s
小球通过圆弧轨道最低点B时的速度大小为 v_B=$\frac{L}{t}$=$\frac{0.6}{0.3}$=2m/s
（2）小球达B受重力G和向上的支持力N作用，由牛顿第二定律知
  N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$      
解得 N=m（g+$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$）=2×（10+$\frac{{2}^{2}}{0.4}$）N=40N
由牛顿第三定律知球对B的压力N′=N=40N，即小球到达B点时对圆形轨道的压力大小为40N，方向竖直向下．
（3）根据能量守恒定律可知，小球从A点运动到距地面$\frac{H}{2}$的D点（D点未标出）的过程中机械能转化为内能的量为：
△E=mgR-$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=2×10×0.4-$\frac{1}{2}$×2×2²=4J
答：
（1）小球通过圆弧轨道最低点B时的速度大小为2m/s．
（2）小球通过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力为40N．
（3）小球从A点运动到距地面$\frac{H}{2}$的D点（D点未标出）的过程中有4J机械能转化为内能．

点评 本题考查了圆周运动和平抛运动的规律，平抛运动可以分解为在水平方向上的匀速直线运动，和竖直方向上的自由落体运动来求解．通过分析受力，由牛顿运动定律求球对轨道的压力．