Question

18．如图所示，可视为质点的，质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管内做圆周运动，下列有关说法中正确的是（　　）

• A． 小球能够通过最高点的最小速度为0
• B． 小球能通过最高点的最小速度为$\sqrt{gR}$
• C． 如果小球在最高点时的速度大小为2$\sqrt{gR}$，则此时小球对管道有向上的作用力
• D． 如果小球在最低点时的速度大小为$\sqrt{gR}$，则小球通过该点时与管道间无相互作用力

Answer 1

分析 圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．小球在最高点时的速度大小为2$\sqrt{gR}$，由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向，再由牛顿第三定律分析小球对管道的作用力．小球从最低点运动到最高点的过程中，只有重力做功，其机械能守恒．在最低点时的速度大小为$\sqrt{gR}$，根据机械能守恒定律求出小球到达最高点时的速度，再由牛顿第二定律求出小球受到的管道的作用力大小和方向．

解答 解：AB、圆形管道内能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0．故A正确，B错误．
C、设管道对小球的弹力大小为F，方向竖直向下．由牛顿第二定律得：mg+F=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，v=2$\sqrt{gR}$，解得F=3mg，方向竖直向下．根据牛顿第三定律得知：小球对管道有向上的弹力．故C正确．
D、如果小球在最低点时的速度大小为$\sqrt{gR}$，有向上的加速度，由牛顿运动定律可知小球通过该点时与管道间一定有作用力，故D错误．
故选：AC．

点评 本题中圆管模型与轻杆模型相似，抓住两个临界条件：一是小球恰好到达最高点时，速度为零；二是小球经过最高点与管道恰好无作用力时速度为 $\sqrt{gR}$．