Question

6．我国成功发射了“嫦娥一号”绕月卫星，我国计划2020年实现载人登月，若你通过努力学习、刻苦训练有幸成为中国登月第一人，而你为了测定月球表面附近的重力加速度进行了如下实验，在月球表面上空让一个小球由静止开始自由下落，测出下落高度H=20m时，下落的时间正好为t=5s，已知月球半径为R，不考虑月球自转．则：
（1）月球表面的重力加速度g为多大
（2）推导月球的第一宇宙速度v的表达式
（3）若卫星绕月球做匀速圆周运动，运行轨道距离月面高度为h，求卫星的运行周期T．

Answer 1

分析 1、根据自由落体运动$h=\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$，代入数据化简可得重力加速度．
2、月球表面的重力等于月球对物体的万有引力，第一宇宙速度是环绕月球表面的匀速圆周运动，结合向心力的表达式即可求出．
3、根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$即可求出．

解答 解：（1）由自由落体规律$h=\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$
代入数据可得：${g}_{月}=1.6m/{s}^{2}$
（2）设月球径为R，绕月卫星质量为m，在月球的表面的重力等于万有引力：
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m{g}_{月}$
设绕月轨道半径为R，绕月卫星质量为m，由牛顿第二定律
$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以：$v=\sqrt{gR}=\sqrt{1.6R}$
（3）又由万有引力提供向心力，得：$G\frac{Mm}{{（R+h）}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}（R+h）$
可得T=$\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g}}$
答：（1）月球表面的重力加速度g_月为1.6m/s²．
（2）月球的第一宇宙速度v的表达式为v=$\sqrt{1.6R}$；
（3）若卫星绕月球做匀速圆周运动，运行轨道距离月面高度为h，卫星的运行周期为$\frac{2π}{R}\sqrt{\frac{（R+h）^{3}}{g}}$．

点评 解决本题的关键掌握自由落体运动的位移时间公式$h=\frac{1}{2}{g}_{月}{t}^{2}$和速度时间公式v_y=g_月t．环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动，由中心天体的万有引力提供向心力．