Question

1．边长为3L的正方形区域分成相等的三部分，左右两侧为匀强磁场，中间区域为匀强电场，如图所示．左侧磁场的磁感应强度大小为B₁=$\frac{\sqrt{6mqU}}{2qL}$，方向垂直纸面向外；右侧磁场的磁感应强度大小为B₂=$\frac{\sqrt{6mqU}}{qL}$，方向垂直于纸面向里；中间区域电场方向与正方形区域的上下边界平行．一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从平行金属板的正极板开始由静止被加速，加速电压为U，加速后粒子从a点进入左侧磁场，又从距正方形上下边界等间距的b点沿与电场平行的方向进入电场，不计粒子重力，求：
（1）粒子经过平行金属板加速后的速度大小；
（2）粒子在左侧磁场区域内运动时的半径及运动时间；
（3）电场强度E的取值在什么范围内时粒子能从右侧磁场的上边缘cd间离开？

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出粒子经过平行金属板加速后的速度大小；
（2）根据半径公式求出粒子在左侧磁场中运动的轨道半径，结合圆心角，通过周期公式求出粒子的运动时间．
（3）作出粒子在上边缘cd间离开磁场的轨迹图，结合临界状态，根据几何关系求出半径，结合半径公式和动能定理求出电场强度的范围．

解答 解：（1）粒子在电场中运动时有：$qU=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：$v=\sqrt{\frac{2qU}{m}}$．
（2）粒子进入磁场B₁后有：$qv{B}_{1}=m\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
解得：${R}_{1}=\frac{mv}{q{B}_{1}}=\frac{2L}{\sqrt{3}}$．
设粒子在磁场B₁中转过的角度为α，由$sinα=\frac{L}{{R}_{1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
解得：α=60°．
周期为：T=$\frac{2π{R}_{1}}{v}$，
粒子在磁场B₁中运动的时间为：t=$\frac{1}{6}T=\frac{πL}{3}\sqrt{\frac{2m}{3qU}}$．
（3）粒子在磁场B₂中运动，在上边缘cd间离开的速度分别为v_n与v_m，与之相对应的半径分别为R_n与R_m．由分析知${R}_{n}=\frac{3}{4}L$，R_m=L   
由牛顿第二定律有：$q{v}_{n}{B}_{2}=m\frac{{{v}_{n}}^{2}}{{R}_{n}}$，
粒子在电场中有：$q{E}_{n}L=\frac{1}{2}m{{v}_{n}}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：${E}_{n}=\frac{11U}{16L}$．
同理有：${E}_{m}=\frac{2U}{L}$．
所以电场强度的范围为：$\frac{11U}{16L}$≤E≤$\frac{2U}{L}$．
答：（1）粒子经过平行金属板加速后的速度大小为$\sqrt{\frac{2qU}{m}}$；
（2）粒子在左侧磁场区域内运动时的半径为$\frac{2L}{\sqrt{3}}$，运动时间为$\frac{πL}{3}\sqrt{\frac{2m}{3qU}}$；
（3）电场强度E的取值范围为$\frac{11U}{16L}$≤E≤$\frac{2U}{L}$时，粒子能从右侧磁场的上边缘cd间离开．

点评 本题是带电粒子在组合场中运动的问题，解题关键是画出粒子的运动轨迹，运用几何知识，结合半径公式和周期公式进行求解．