Question

6．如图所示，在直角坐标系xOy的一、四象限区域内存在两个有界的匀强磁场，磁场I垂直纸面向外、磁场Ⅱ垂直纸面向里．O、M、P、Q为磁场边界与x轴的交点，且OM=MP=L．在第三象限存在沿y轴正向的匀强电场．一质量为m、电荷量为+q的带电粒子从电场中坐标为（-2L，-y）的A点以速度v₀沿x轴正方向射出，恰好经过原点O处以45°角射入磁场Ⅰ，又从M点射出磁场Ⅰ（粒子的重力忽略不计）．求：
（1）A点的纵坐标值y及电场场强E的大小；
（2）磁场Ⅰ的磁感应强度B的大小；
（3）如果带电粒子能再次回到原点O，问磁场Ⅱ的宽度至少为多少？粒子两次经过原点O的时间间隔为多长？

Answer 1

分析 （1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，运用运动的分解法，由牛顿第二定律和运动学公式求解y和场强E的大小；
（2）带电粒子进入磁场后，由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动．由题意，粒子经过原点O处射入区域I又从M点射出区域I，画出轨迹，由几何知识求出轨迹半径，由牛顿第二定律即可求得磁感应强度B的大小；
（3）当带电粒子恰好能再次回到原点O，在磁场Ⅱ中轨迹恰好与其右边界相切，画出轨迹，由几何关系即可求出磁场的宽度．分段求出时间，即可求得总时间

解答 解：（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，设带电粒子经过O点时竖直分速度大小为v_y，据题粒子经过原点O处以45°角射入磁场，由速度分解可知：v_y=v₀．则有
水平方向：2L=v₀t
竖直方向：y=$\frac{{v}_{y}}{2}t$
解得：y=L
由 y=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{qE{t}^{2}}{2m}$
联立解得：E=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$
（2）带电粒子进入磁场时速度大小为：v=$\sqrt{2}{v}_{0}$，方向与x轴正向成45°．
粒子进入区域Ⅰ做匀速圆周运动，由几何知识可得轨迹半径为：
R₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L
由洛伦兹力充当向心力，则有：Bqv=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$
可解得：B=$\frac{mv}{q{R}_{1}}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$
（3）粒子运动轨迹如图．
在区域Ⅱ做匀速圆周的半径为：R₂=$\sqrt{2}$L
带电粒子能再次回到原点的条件是区域Ⅱ的宽度为：d≥R₂+L=（$\sqrt{2}$+1）L
粒子从O到M的运动时间为：t₁=$\frac{\frac{π}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{πL}{4{v}_{0}}$
粒子从M到N的运动时间为：t₂=$\frac{\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{L}{{v}_{0}}$
粒子在区域Ⅱ中的运动时间为：t₃=$\frac{\frac{3}{2}π•\sqrt{2}L}{\sqrt{2}{v}_{0}}$=$\frac{3πL}{2{v}_{0}}$
粒子两次经过原点O的时间间隔为：t_总=2（t₁+t₂）+t₃=$\frac{2（1+π）L}{{v}_{0}}$
答：（1）A点的纵坐标值y为L，电场场强E的大小为$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2qL}$；
（2）磁场Ⅰ的磁感应强度B的大小为$\frac{2m{v}_{0}}{qL}$；
（3）如果带电粒子能再次回到原点O，问磁场Ⅱ的宽度至少为（$\sqrt{2}$+1）L，粒子两次经过原点O的时间间隔为$\frac{2（1+π）L}{{v}_{0}}$．

点评 本题考查带电粒子在电磁场中的运动，画出粒子的运动轨迹，充分运用几何关系求解轨迹半径是关键．在电场中经熟练运用运动的分解法和类平抛运动的规律求解．