题目内容

（2006?西城区一模）如图所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L．M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上．导轨和金属杆的电阻可忽略．让金属杆ab沿导轨由静止开始下滑，经过足够长的时间后，金属杆达到最大速度vm，在这个过程中，电阻R上产生的热为Q．导轨和金属杆接触良好，它们之间的动摩擦因数为μ，且μ＜tanθ．已知重力加速度为g．
（1）求磁感应强度的大小；
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到
13
vm时，求此时杆的加速度大小；
（3）求金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度．
分析：（1）金属杆先沿导轨向下做加速度减小的变加速运动，后做匀速运动，速度达到最大值，此时金属杆受力平衡，根据平衡条件和安培力公式，求出磁感应强度B的大小．
（2）金属杆在加速下滑过程中，当速度达到
1
3
vm时，求出安培力，由牛顿第二定律求解加速度大小．
（3）金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中，其重力势能减小，转化为杆的动能、摩擦生热和电路中的焦耳热，根据能量守恒定律求解杆下降的高度．
解答：解：（1）当杆达到最大速度时受力平衡，受力如图　　

mgsinθ=BIL+μN         
N=mgcosθ                 
电路中电流　I=
E
R
=
BLvm
R
             
解得　　B=
mgR(sinθ-μcosθ)
L2vm
  
（2）当杆的速度为
1
3
vm时，由牛顿第二定律：mgsinθ-BIL-μN=ma  
此时电路中电流：I′=
E′
R
=
BLvm
3R
　         
解得　a=
2
3
gsinθ-
2
3
μgcosθ   
（3）设金属杆从静止开始至达到最大速度的过程中下降的高度为h，由能量守恒：mgh=
1
2
m
v
2
m
+Q+μmgcosθ?s　
又　　    h=s?sinθ                       
解得　　 h=
m
v
2
m
+2Q
2mg(1-μcotθ)

答：（1）磁感应强度的大小B=
mgR(sinθ-μcosθ)
L2vm
；
（2）当速度达到
1
3
vm时，求此时杆的加速度大小a=
2
3
gsinθ-
2
3
μgcosθ；
（3）金属杆下降的高度h=
m
v
2
m
+2Q
2mg(1-μcotθ)
．
点评：本题的关键是会推导安培力的表达式，根据平衡条件、牛顿第二定律和能量守恒研究电磁感应现象，常规题．
练习册系列答案
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