如图所示.aa′.bb′.cc′.dd′为区域Ⅰ.Ⅱ.Ⅲ的竖直边界.三个区域的宽度相同.长度足够大.区域Ⅰ.Ⅲ内分别存在垂直纸面向外和向里的匀强磁场.区域Ⅱ存在竖直向下的匀强电场．一群速率不同的带正电的某种粒子.从边界aa′上的O处.沿着与Oa成30°角的方向射入Ⅰ区．速率小于某一值的粒子在Ⅰ区内运动时间均为t0,速率为v0的粒子在Ⅰ区运动$\frac{{t} {0}}{5}$后进入Ⅱ区� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

9．

如图所示，aa′、bb′、cc′、dd′为区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的竖直边界，三个区域的宽度相同，长度足够大，区域Ⅰ、Ⅲ内分别存在垂直纸面向外和向里的匀强磁场，区域Ⅱ存在竖直向下的匀强电场．一群速率不同的带正电的某种粒子，从边界aa′上的O处，沿着与Oa成30°角的方向射入Ⅰ区．速率小于某一值的粒子在Ⅰ区内运动时间均为t₀；速率为v₀的粒子在Ⅰ区运动$\frac{{t}_{0}}{5}$后进入Ⅱ区．已知Ⅰ区的磁感应强度的大小为B，Ⅱ区的电场强度大小为2Bv₀，不计粒子重力．求：
（1）该种粒子的比荷$\frac{q}{m}$；
（2）区域Ⅰ的宽度d；
（3）速率为v₀的粒子在Ⅱ区内运动的初、末位置间的电势差U；
（4）要使速率为v₀的粒子进入Ⅲ区后能返回到Ⅰ区，Ⅲ区的磁感应强度B′的大小范围应为多少？

分析（1）粒子在磁场中做匀速原子能运动，洛伦兹力了提供向心力，作出粒子运动轨迹，求出粒子转过的圆心角，应用牛顿第二定律与周期公式可以求出粒子的比荷．
（2）作出粒子运动轨迹，求出粒子做圆周运动的圆心角，根据粒子轨道半径应用几何知识求出区域的宽度．
（3）粒子在电场中做类平抛运动，应用类平抛运动规律与动能定理求出电势差．
（4）求出粒子做圆周运动的临界半径，然后应用牛顿第二定律求出临界磁感应强度，然后确定其范围．

解答解：（1）速率小于某一值的粒子在区域Ⅰ中运动时间均为t₀，这些粒子不能从bb′离开区域Ⅰ，
其轨迹如图a所示（图中只画出某一速率粒子的轨迹）．粒子运动轨迹的圆心角为：φ₁=300°①
粒子在磁场中的运动时间：t₀=$\frac{300°}{360°}$T=$\frac{5}{6}$T ②
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$ ③
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}$ ④
解得，粒子的比荷：$\frac{q}{m}$=$\frac{5π}{3{t}_{0}B}$ ⑤；
（2）设速率为v₀的粒子在区域Ⅰ内运动轨迹所对圆心角为φ₂，φ₂=$\frac{1}{5}$φ₁=60°⑥
由几何知识可知，穿出bb′时速度方向与bb′垂直，其轨迹如图b所示，设轨迹半径为R₀，
由几何知识得：d=R₀sinφ₂⑦
粒子做圆周运动的轨道半径：R₀=$\frac{m{v}_{0}}{qB}$，
区域Ⅰ的宽度：d=$\frac{3\sqrt{3}{v}_{0}{t}_{0}}{10π}$ ⑧
（3）设速率为v₀的粒子离开区域Ⅱ时的速度大小为v₁，方向与边界cc′的夹角为φ₃，
水平方向有d=v₀t　竖直方向有v_y=at⑨
加速度：a=$\frac{qE}{m}$=$\frac{2qB{v}_{0}}{m}$ ⑩
由几何知识得：tan φ₃=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{y}}$⑪
速度：v₁=2v₀⑫解得：φ₃=30°⑬
由动能定理得qU=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}$mv₀²⑭
解得：U=$\frac{9{t}_{0}B{v}_{0}^{2}}{10π}$⑮
（4）速率为v₀的粒子在区域Ⅲ内做圆周运动，当Ⅲ区内的磁感应强度为B₁时，
粒子恰好不能从区域Ⅲ的边界dd′飞出，设其轨迹半径为r，则：r（1+cos φ₃）=d⑯
粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{r}$，
粒子轨道半径：r=$\frac{m{v}_{1}}{q{B}_{1}}$，解得：B₁=$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$B⑰
所以，粒子能返回Ⅰ区，B′的大小范围为B′≥$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$B⑱
答：（1）该种粒子的比荷$\frac{q}{m}$为$\frac{5π}{3{t}_{0}B}$．
（2）区域Ⅰ的宽度d为$\frac{3\sqrt{3}{v}_{0}{t}_{0}}{10π}$；
（3）速率为v₀的粒子在Ⅱ区内运动的初、末位置间的电势差U为$\frac{9{t}_{0}B{v}_{0}^{2}}{10π}$；
（4）要使速率为v₀的粒子进入Ⅲ区后能返回到Ⅰ区，Ⅲ区的磁感应强度B′的大小范围应为：B′≥$\frac{4\sqrt{3}+6}{3}$B．

点评带电粒子在匀强磁场中的运动是整个高中的重点，也是高考的必考的内容，带电粒子在磁场中运动问题的解题关键是：作出粒子运动的轨迹图，通过几何关系找出粒子运动的半径以及圆心角的大小，掌握粒子在匀强磁场中运动的半径公式和周期公式．

练习册系列答案

20．在LC回路产生电磁振荡的过程中，下列说法中错误的是（　　）

	A．	电容器极板上所带电荷量减小时，回路中的电流增大
	B．	电容器极板上所带电荷量增大时，回路中的电流增大
	C．	电容器放电完毕时刻，回路中磁场能最大
	D．	回路中电流最大时刻，回路中电场能最小

17．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，月球绕地球作匀速圆周运动的周期为T．求月球距地面的高度h．

4．图甲是线圈P绕垂直于磁场的轴在匀强磁场中匀速转动时所产生的正弦交流电压的图象，把该交流电压加在图乙中变压器的A、B两端．图乙中的变压器为理想变压器，已知电压表的示数为4.0V，交流电流表和交流电压表均为理想电表，电阻R=2Ω，其他各处电阻不计，以下说法正确的是（　　）

	A．	在t=0.2 s和0.4s时，穿过线圈P的磁通量最小
	B．	电流表的示数为0.6A
	C．	变压器原线圈Ⅰ和副线圈Ⅱ的匝数比为2：5
	D．	电流在R上的电功率是8W

14．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，离地面越远的卫星（　　）

1．我们称绕地球运动的周期和地球的自转同步的卫星称为同步卫星，是人为发射的一种卫星，它相对于地球静止于赤道上空．设地球的质量为M，地球的半径为R，地球的自转周期为T，万有引力常量为G，则地球同步卫星的运动周期为T，同步卫星距地面的高度为$\root{3}{{\frac{{GM{T^2}}}{{4{π^2}}}}}-R$．

11．汽车以72km/h的速度通过凹形桥最低点时，对桥的压力是车重的1.5倍，则凹形桥面的半径为80m；若汽车以相同速度通过相同半径的凸形桥最高点，对桥的压力是车重的0.5倍，当车速为20$\sqrt{2}$m/s时，车对凸形桥面最高点的压力恰好为零．（取g=10m/s²）．

12．在光电效应实验中，用频率为v的光照射光电管阴极，发生了光电效应，下列说法正确的是（　　）

	A．	若只减小入射光的强度，逸出的光电子的最大初动能将减小
	B．	若只增大入射光的强度，逸出的光电子的光电流增大
	C．	若改用频率为2v的光照射，光电子的最大初动能将增大一倍
	D．	若改用频率小于v而光强不变的光照射，单位时间内从金属表面逸出的光电子数目一定减少

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