Question

19．如图所示，水平光滑轨道AB与竖直半圆形光滑轨道BC在B点平滑连接，半圆形轨道半径为R，AB段长为4R，质量为m的小滑块（可视为质点）在水平恒力F作用下，从A点由静止开始运动，经B点时撤去力F，小滑块进入半圆形轨道，沿轨道运动到最高点C，从C点水平飞出．重力加速度为g．求：
（1）若小滑块从C点水平飞出后又恰好落在A点．
①滑块通过 C点时的速度大小；
②滑块刚进入半圆形轨道时，在B点对圆轨道压力的大小；
（2）如果要使小滑块能够通过C点，求水平恒力F应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）①由类平抛运动规律，根据位移公式求得速度；②根据在B到C的运动过程中机械能守恒求得B点的速度，再由牛顿第二定律求得支持力，即可由牛顿第三定律求得压力；
（2）根据牛顿第二定律求得滑块能通过C点，在C点的速度；然后对从A到C应用动能定理即可求得F．

解答 解：（1）①设滑块从C点飞出时的速度为v_C，从C点运动到A点时间为t，滑块从C点飞出后，做平抛运动，
故在竖直方向上有：$2R=\frac{1}{2}g{t}^{2}$
在水平方向上有：4R=v_Ct；
所以有：${v}_{C}=\frac{4R}{t}=\frac{4R}{\sqrt{\frac{4R}{g}}}=2\sqrt{gR}$；
②滑块在光滑轨道上运动，只有重力做功，故机械能守恒，设滑块通过B点时的速度为v_B，根据机械能守恒定律有：
$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=4mgR$，
设滑块在B点受轨道的支持力为F_N，根据牛顿第二定律可得：
${F}_{N}-mg=\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得：${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{B}}^{2}}{R}=9mg$；
依据牛顿第三定律，滑块在B点对轨道的压力为：F_N′=F_N=9mg；
（2）要使小滑块能够通过C点，那么滑块在C点的向心力不小于重力，设滑块在C点的速度为v_C′，则有：$\frac{m{v}_{C}{′}^{2}}{R}≥mg$；
又有滑块由A点运动到C点的过程中只有拉力F和重力做功，故由动能定理可得：$F•4R-2mgR=\frac{1}{2}m{v}_{C}{′}^{2}≥\frac{1}{2}mgR$；
所以，$F≥\frac{5}{8}mg$；
答：（1）若小滑块从C点水平飞出后又恰好落在A点．
①滑块通过 C点时的速度大小为$2\sqrt{gR}$；
②滑块刚进入半圆形轨道时，在B点对圆轨道压力的大小为9mg；
（2）如果要使小滑块能够通过C点，水平恒力F应不小于$\frac{5}{8}mg$．

点评 物体运动学问题，一般根据物体受力情况求得合外力，再由牛顿第二定律求得加速度，即可求得物体运动状态．