Question

2．如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m=0.2kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点释放，物块飞离桌面边缘D点后由P点沿切线落入圆轨道，取g=10m/s²，$\sqrt{2}$=1.4，求：
（1）求物块在P点的速度大小；
（2）求D、P间的水平距离；
（3）通过计算判断物块能否沿圆轨道到达M点．

Answer 1

分析 （1）（2）物块离开D点做平抛运动，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道，知道了到达P点的速度方向，将P点的速度分解为水平方向和竖直方向，根据竖直方向上做自由落体运动求出竖直分速度，再根据角度关系求出水平分速度，由速度的合成求出P点的速度和P、D之间的水平距离．
（3）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，则mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点．

解答 解：（1）设物块由D点以v_D做平抛，落到P点时其竖直速度为：$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}=mgR$
v_y=$\sqrt{2gR}$=$\sqrt{2×10×0.8}=4$m/s 
根据几何关系有：$\frac{{v}_{y}}{{v}_{D}}$=tan45°
代入数据解得：v_D=4m/s
${v}_{P}=\sqrt{{v}_{D}^{2}+{v}_{y}^{2}}=\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}=4\sqrt{2}$m/s
（2）平抛运动的时间为：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$=0.4s
所以DP间的水平距离为：x=v_Dt=4×0.4m=1.6m．
（3）设物块到达M点的临界速度为v_m，有：
mg=m$\frac{{v}_{M}^{2}}{R}$
v_M=$\sqrt{gR}$=2$\sqrt{2}$m/s
由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}mv{′}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}mgR$ 
解得：v′=$\sqrt{16-8\sqrt{2}}$m/s
因为$\sqrt{16-8\sqrt{2}}$＜2$\sqrt{2}$
所以物块不能到达M点．
答：（1）物块在P点的速度大小是$4\sqrt{2}$m/s；
（2）D、P间的水平距离是1.6m；
（3）m不能否沿圆轨道到达M点．

点评 该题涉及到多个运动过程，主要考查了机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用，用到的知识点及公式较多，难度较大，属于难题．