Question

5．如图所示，光滑绝缘的细圆管弯成半径为R的半圆形，固定在竖直面内，管口B、C的连线是水平直径．现有一带电的小球（可视为质点）从B点正上方的A点自由下落，A、B两点间距离为4R．从小球刚到达管口C处时，整个空间中突然加上一个匀强电场，电场力在竖直向上的分力大小与重力平衡，结果小球从管口C处脱离圆管后，其运动轨迹恰好经过A点．设小球运动过程中带电量没有改变，重力加速度为g，求：
（1）小球到达B点的速度大小；
（2）小球受到的电场力的大小；
（3）加上匀强点场的一瞬间，小球在管口C处对圆管壁的压力的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）对A到B过程应用机械能守恒即可求解；
（2）对BC运动过程应用机械能守恒求得在C的速度，然后由类平抛运动规律求得从C到A运动的加速度，即可由力的合成求解；
（3）对小球在C处进行受力分析，由牛顿第二定律即可求解．

解答 解：（1）小球从A下落到B的过程只有重力做功，机械能守恒，故有：$4mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${v}_{B}=2\sqrt{2gR}$；
（2）小球在光滑管道内运动，只有重力做功，机械能守恒，故${v}_{C}={v}_{B}=2\sqrt{2gR}$，方向竖直向上；
施加电场后，小球受重力和电场力作用，电场力在竖直向上的分力大小与重力平衡，故合外力为水平方向；
那么，小球从C到A做类平抛运动，设加速度为a，则有：$4R={v}_{C}t=2\sqrt{2gR}t$，$2R=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}a×（\frac{4R}{2\sqrt{2gR}}）^{2}=\frac{aR}{g}$，所以，a=2g；
那么，电场力的水平分量为F_x=ma=2mg，竖直分量为F_y=mg，所以，小球受到的电场力的大小$F=\sqrt{{{F}_{x}}^{2}+{{F}_{y}}^{2}}=\sqrt{5}mg$；
（3）加上匀强点场的一瞬间，小球在管口C处在水平方向上的合外力做向心力，又有${F}_{向}=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}=8mg$；
圆管壁对小球的作用力也在水平方向，故由受力分析可知：小球受到圆管壁的作用力为6mg，方向水平向左；
那么由牛顿第三定律可得：小球在管口C处对圆管壁的压力的大小为6mg，方向水平向右；
答：（1）小球到达B点的速度大小为$2\sqrt{2gR}$；
（2）小球受到的电场力的大小为$\sqrt{5}mg$；
（3）加上匀强点场的一瞬间，小球在管口C处对圆管壁的压力的大小为6mg，方向水平向右．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．