Question

9．如图所示，两同心圆半径分别为r₁=R和r₂=（$\sqrt{2}$+1）R．环形区域内存在垂直于圆面的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q的带电粒子从圆心处以速率v出发沿圆面运动而恰好不能穿越大圆所包围的区域，不计重力．则
（1）环形区域内匀强磁场的磁感应强度是多大？
（2）该粒子的运动周期是多大？

Answer 1

分析 （1）粒子在小圆内做匀速直线运动，进入磁场后做匀速圆周运动，不能穿越大圆，即运动轨迹应和大圆相切，确定轨迹求出半径即可求解．
（2）找到圆周运动轨迹的圆心角，结合周期计算时间，再加上匀速直线运动时间．

解答 解：（1）如图所示，粒子从圆心出发后先在小圆内做匀速直线运动，射入磁场做匀速圆周运动后再次射入小圆做匀速直线运动，据对称性可知，粒子必然会再次回到小圆的圆心处．运动轨迹如图所示．
设粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为r，
环形区域内匀强磁场的磁感应强度是B，据牛顿第二定律有     $qvB=m\frac{v^2}{r}$①
由几何关系知      $\sqrt{{r^2}+{R^2}}+r=（\sqrt{2}+1）R$
解得：r=R②
由  ①②联立可解得$B=\frac{mv}{qR}$③
（2）粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为  ${T_1}=\frac{2πr}{v}$④
由②④联立得${T_1}=\frac{2πR}{v}$⑤
图中θ角满足$tanθ=\frac{R}{r}$=1⑥
由②⑥联立得θ=45°     ⑦
则可知粒子将沿图示运动轨迹从出发到第四次回到小圆圆心时完成一个运动周期，
因而粒子的运动周期为        $T=\frac{8R}{v}+4×\frac{{3{T_1}}}{4}$⑧
将  ④代入 ⑧得   $T=\frac{8R+6πR}{v}$⑨．
答：（1）环形区域内匀强磁场的磁感应强度是$\frac{mv}{Bq}$
（2）该粒子的运动周期是$\frac{8R+6πR}{v}$

点评 本题考查带电粒子在磁场及电场中的运动，要注意正确分析物理过程，明确带电粒子在磁场中的圆周运动，灵活应用几何关系求解，注意粒子的周期运动．