Question

3．光电效应和康普顿效应深入地揭示了光的粒子性的一面．前者表明光子具有能量，后者表明光子除了具有能量之外还具有动量．由狭义相对论可知，一定的质量m与一定的能量E相对应：E=mc²，其中c为真空中光速．
（1）已知某单色光的频率为ν，波长为λ，该单色光光子的能量E=hv，其中h为普朗克常量．试借用质子、电子等粒子动量的定义：动量=质量×速度，推导该单色光光子的动量p=$\frac{h}{λ}$．
（2）光照射到物体表面时，如同大量气体分子与器壁的频繁碰撞一样，将产生持续均匀的压力，这种压力会对物体表面产生压强，这就是“光压”，用I表示．
一台发光功率为P₀的激光器发出一束某频率的激光，光束的横截面积为S．当该激光束垂直照射到某物体表面时，假设光全部被吸收，试写出其在物体表面引起的光压的表达式．
（3）设想利用太阳光的“光压”为探测器提供动力，将太阳系中的探测器送到太阳系以外，这就需要为探测器制作一个很大的光帆，以使太阳光对光帆的压力超过太阳对探测器的引力，不考虑行星对探测器的引力．
一个质量为m的探测器，正在朝远离太阳的方向运动．已知引力常量为G，太阳的质量为M，太阳单位时间辐射的总能量为P．设帆面始终与太阳光垂直，且光帆能将太阳光一半反射，一半吸收．试估算该探测器光帆的面积应满足的条件．

Answer 1

分析 （1）根据能量与质量的关系，结合光子能量与频率的关系以及动量的表达式推导单色光光子的动量p=$\frac{h}{λ}$．
（2）根据一小段时间△t内激光器发射的光子数，结合动量定理求出其在物体表面引起的光压的表达式．
（3）当光一半被反射一半被吸收时，求出产生的光压，得出距太阳为r处光帆受到的光压，抓住太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力求出探测器光帆的面积应满足的条件．

解答 解：（1）光子的能量 E=mc²
$E=hν=h\frac{c}{λ}$
光子的动量 p=mc可得 $p=\frac{E}{c}=\frac{h}{λ}$
（2）一小段时间△t内激光器发射的光子数 $n=\frac{{{P_0}△t}}{{h\frac{c}{λ}}}$
光照射物体表面，由动量定理 F△t=np
产生的光压 $I=\frac{F}{S}$解得 $I=\frac{P_0}{cS}$
（3）由（2）同理可知，当光一半被反射一半被吸收时，产生的光压 $I=\frac{3P}{2cS}$
距太阳为r处光帆受到的光压$I=\frac{3P}{{2c•4π{r^2}}}$
太阳光对光帆的压力需超过太阳对探测器的引力 $IS'＞G\frac{Mm}{r^2}$
解得 $S'＞\frac{8πcGMm}{3P}$．
答：（1）推导过程如上所示；
（2）在物体表面引起的光压的表达式$I=\frac{P_0}{cS}$；
（3）该探测器光帆的面积应满足的条件$S'＞\frac{8πcGMm}{3P}$．

点评 考查光子的能量与动量区别与联系，掌握动量定理的应用，注意建立正确的模型是解题的关键．