Question

20．如图所示，P是固定在水平面CD上的一半径为R的圆弧槽轨道，从水平桌面边缘A处，以速度v₀水平飞出一个质量为m的小球，恰好能从圆弧槽左端B点处沿圆弧槽切线方向进入轨道．已知O点是圆弧槽轨道的圆心，桌面比水平面高H，θ₁是OB与竖直方向的夹角，θ₂是AB与竖直方向的夹角，H=2R，v₀=$\sqrt{gH}$，则（　　）

• A． tanθ₁tanθ₂=1
• B． tanθ₁tanθ₂=2
• C． 小球到达D点时对圆轨道的压力大小为7mg
• D． 小球到达D点时对圆轨道的压力大小为6mg

Answer 1

分析 从图中可以看出，速度与水平方向的夹角为θ₁，位移与竖直方向的夹角为θ₂．然后求出两个角的正切值，应用平抛运动规律求出两角正切值间的关系；应用动能定理与牛顿第二定律求出小球与轨道间的作用力．

解答 解：A、平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．速度与水平方向的夹角为θ₁，tanθ₁=$\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$=$\frac{gt}{{v}_{0}}$．位移与竖直方向的夹角为θ₂，tanθ₂=$\frac{x}{y}$=$\frac{{v}_{0}t}{\frac{1}{2}g{t}^{2}}$=$\frac{2{v}_{0}}{gt}$，则tanθ₁tanθ₂=$\frac{gt}{{v}_{0}}$×$\frac{2{v}_{0}}{gt}$=2，故A错误，B正确；
C、小球从抛出到到达D点过程，由动能定理得：mgH=$\frac{1}{2}$mv_D²-$\frac{1}{2}$mv₀²，在D点，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$，解得：N=7mg，由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力：N′=N=7mg，故C正确，D错误；
故选：BC．

点评 解决本题的关键掌握处理平抛运动的方法，平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动．以及知道速度与水平方向夹角的正切值是同一位置位移与水平方向夹角的正切值的两倍．