Question

18．如图所示，在xoy平面内，MN与y轴平行，间距为d，其间有沿x轴负方向的匀强电场．y轴左侧有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B₁，MN右侧空间有垂直纸面的匀强磁场，质量为m，电荷量为q的粒子以v₀的速度从坐标原点O沿x轴负方向射入磁场，经过一段时间后再次回到坐标原点，粒子在此过程中通过电场的总时间t_总=$\frac{4d}{3{v}_{0}}$，粒子重力不计，求：
（1）左侧磁场区域的最小宽度
（2）电场区域电场强度的大小
（3）右侧磁场区域宽度及磁感应强度满足的条件．

Answer 1

分析 （1）临界情况是左侧磁场区域的左边界与轨迹相切，根据牛顿第二定律列式求解轨道半径，得到左侧磁场区域的最小宽度；
（2）粒子在电场中运动的时间已知的，根据匀变速直线运动的速度公式列式求解加速度，根据牛顿第二定律列式求解电场强度；
（3）临界情况是经过右侧磁场偏转后在电场中沿着直线回到O点，也可以是在左侧磁场中再运动半圈回到O点，结合几何关系求解轨道半径，根据牛顿第二定律列式求解即可．

解答 解：（1）粒子在磁场做圆周运动（半圈）
由$q{B}_{1}{v}_{0}=m\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
轨道半径：R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
由几何知识可知，左侧磁场的最小宽度就是粒子做圆周运动的半径
即${L}_{min}=R=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
（2）粒子在电场中来回的总时间为${t}_{总}=\frac{4d}{3{v}_{0}}$，所以电场对带电粒子单次通过的时间为t=$\frac{2d}{3{v}_{0}}$，显然，粒子首次通过电场中是加速运动，粒子应该带负电．
由$d={v}_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^{2}$
即$d={v}_{0}t+\frac{1}{2}\frac{qE}{m}{t}^{2}$
得到：E=$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$
（3）粒子在左侧磁场中向下偏转，通过电场加速后进入右侧磁场，要使其能够回到原点，在右侧磁场中应向下偏转，且偏转半径为R或2R，粒子加速通过电场加速后进入右侧磁场速度为v．
根据速度公式，有：
v=v₀+at=2v₀
根据牛顿第二定律，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$
解得：
r=$\frac{mv}{qB}$=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}$
R=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$
①当半径r=R时，则B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$=2B₁           
右侧磁场的最小宽度为${X}_{min}=R=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$      
②当半径r=2R时，B=$\frac{2m{v}_{0}}{qR}$=B₁            
右侧磁场的最小宽度为${X}_{min}=r=\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$     
答：（1）左侧磁场区域的最小宽度为$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$；
（2）电场区域电场强度的大小为$\frac{3m{v}_{0}^{2}}{2qd}$；
（3）右侧磁场区域宽度及磁感应强度满足的条件为：①B=2B₁，${X}_{min}=\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$；②B=B₁，${X}_{min}=\frac{2m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$．

点评 本题关键是明确粒子的受力情况和运动规律，找到临界情况，然后根据牛顿第二定律、运动学公式并结合几何关系列式分析，不难．