Question

2．如图所示，传送带A、B之间的距离为L=3.2m，与水平面间夹角θ=37°，传送带沿顺时针方向转动，速度恒为v=2m/s，在上端A点无初速放置一个质量为m=1kg、大小可视为质点的金属块，它与传送带的动摩擦因数为μ=0.5，金属块滑离传送带后经过弯道，沿半径R=0.4m的光滑圆轨道做圆周运动，刚好能通过最高点E，已知B、D两点的竖直高度差为h=0.5m （g取10m/s²）．求：
（1）金属块刚释放时的加速度大小；
（2）金属块经过D点时对轨道的压力大小；
（3）金属块在BCD弯道上克服摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）对金属块进行受力分析，由牛顿第二定律求解；
（2）对金属块在E点应用牛顿第二定律求得速度，然后由机械能守恒求得在D的速度，即可由牛顿第二定律求得支持力，再由牛顿第三定律求得压力；
（3）对金属块在AB上的运动进行分析，得到具体运动过程，然后根据位移求得末速度，再对B到D运动过程应用动能定理即可求解．

解答 解：（1）金属块刚释放时受重力、支持力、摩擦力作用，在沿传送带方向应用牛顿第二定律可得：mgsinθ+μmgcosθ=ma，所以，a=g（sinθ+μcosθ）=10m/s²；
（2）金属块刚好能通过最高点E，那么对金属块在E点应用牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{E}}^{2}}{R}$；
金属块从D到E的运动过程只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}=\frac{5}{2}mgR$，${v}_{D}=\sqrt{5gR}=2\sqrt{5}m/s$；
那么，对金属块在D点应用牛顿第二定律可得：金属块受到的支持力${F}_{N}=mg+\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{R}=6mg=60N$；
故由牛顿第三定律可知：金属块经过D点时对轨道的压力大小为60N；
（3）金属块若在AB上做匀加速运动，那么由匀加速运动规律可知：在B处的速度${v}_{B1}=\sqrt{2aL}=8m/s＞2m/s$；
故金属块先做加速度为a的匀加速运动到2m/s，然后做加速度$a'=\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}=2m/{s}^{2}$的匀加速运动到B；
金属块在a的作用下，位移为$s=\frac{{v}^{2}}{2a}=0.2m$，速度为2m/s，然后在a′的作用下，位移s′=3m，故末速度${v}_{B}=\sqrt{{v}^{2}+2a′s′}=4m/s$；
金属块在BCD弯道上运动，只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：金属块在BCD弯道上克服摩擦力做的功$W=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}+mgh-\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}=3J$；
答：（1）金属块刚释放时的加速度大小为10m/s²；
（2）金属块经过D点时对轨道的压力大小为60N；
（3）金属块在BCD弯道上克服摩擦力做的功为3J．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．