Question

10．若宇航员在月球表面附近自高h处以初速度v₀水平抛出一个小球，测出小球的水平射程为L．已知月球半径为R，万有引力常量为G．则求：
（1）月球表面的重力加速度g_月；
（2）月球的平均密度ρ；
（3）月球的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 1、宇航员在月球上自高h处以初速度v₀水平抛出一物体，测出物体的水平射程为L，根据平抛运动规律求解月球表面的重力加速度
2、根据月球表面重力等于万有引力列出等式求解月球的平均密度
3、根据重力提供向心力求出卫星的第一宇宙速度；

解答 解：（1）根据平抛运动规律，
水平方向：L=v₀t，
竖直方向：h=$\frac{1}{2}$g_月t²，
联立解得g_月=$\frac{2{hv}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$
（2）根据月球表面重力等于万有引力，有：
mg_月=G$\frac{{mm}_{月}}{{R}^{2}}$
解得：m_月=$\frac{{{2hR}^{2}v}_{0}^{2}}{{GL}^{2}}$
月球的平均密度为：ρ=$\frac{{m}_{月}}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{3{hv}_{0}^{2}}{2π{GL}^{2}R}$，
（3）根据重力提供向心力，由mg_月=m$\frac{v2}{R}$
解得：v=$\frac{{v}_{0}}{L}$$\sqrt{2hR}$ 
答：（1）月球表面的重力加速度是$\frac{2{hv}_{0}^{2}}{{L}^{2}}$；
（2）月球的平均密度是$\frac{3{hv}_{0}^{2}}{2π{GL}^{2}R}$；
（3）月球的第一宇宙速度是$\frac{{v}_{0}}{L}$$\sqrt{2hR}$．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向上和竖直方向上的运动规律，以及掌握万有引力提供向心力以及万有引力等于重力这两个理论的运用