题目内容

16．如图，在距地面高为H=0.5m的光滑桌面左端有一固定竖直板，板上固定一弹簧，在桌面上有一块很薄的长为L=0.5m的木板，木板的左端固定有竖直挡板（和木块一起运动），木板和该挡板的总质量为M=2kg，在木板上紧靠挡板放置一质量为m=1kg的小木块，小木块与木板之间的摩擦因数为μ=0.1．在桌面右端固定有一很矮的粘板，其高度略低于长木板的厚度，当长木板撞到粘板上时，速度立即变为0．在距桌面右端S=1m处有一高为h=0.3m、水平长度为L0=0.2m的挡网．用长木板将弹簧压缩，并用细绳固定．（弹簧右端与长木板不粘连，长木板右端距桌面右端足够远，g=10m/s2） 现烧断绳子，长木板和小木块一起被弹出，则：
（1）若最终小木块停在长木板最右端，则烧断绳时弹簧储存的弹性势能是多大？
（2）若要使小木块最终落在挡网上，则弹簧的弹性势能需在什么范围内？

分析 （1）长木板M撞到粘板后，m在M上向右做匀减速运动，结合弹簧储存的弹性势能等于m和M的初始动能即可正确求解．
（2）先求出离开桌面的速度，再据平抛运动知识和动能定理求解即可．

解答 解：
（1）弹簧弹开后，m与M一起向右做匀速直线运动，设速度大小为 v0，M撞到粘板后，m在M上向右做匀减速运动，并离开M．由动能定理有：
$0-\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}=-μmgL$
所以：${v}_{0}^{2}=2μgL$
弹簧储存的弹性势能等于m和M的初始动能，即：
${E}_{P}=\frac{1}{2}（M+m）{v}_{0}^{2}=μ（M+m）gL$
代入数据得：EP=1.5J
（2）若m刚好落在网的底端，m离开木板后做平抛运动的初速度为v1，则有：
$H=\frac{1}{2}g{t}_{1}^{2}$
S=v1t1
所以：${v}_{1}=S\sqrt{\frac{g}{2H}}$
代入数据得：${v}_{1}=\sqrt{10}$m/s
弹簧弹开时，m和M的速度为vmin，对m在M上运动的过程有：
$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{min}^{2}=-μmgL$
所以：${v}_{min}^{2}={v}_{1}^{2}+2μgL$
弹簧的弹性势能最小值为：EPmin=16.5J
若m刚好落在网的顶端，则：$H-h=\frac{1}{2}g{t}_{2}^{2}$
S+L=${v}_{2}{t}_{2}^{2}$
所以：${v}_{2}=（S+{L}_{0}）•\sqrt{\frac{g}{2（H-h）}}=6$m/s
这时弹簧弹开时，m和M的速度为vmax，对m在M上运动的过程有：
$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{max}^{2}=-μmgL$
弹簧的弹性势能最大值为：EPmax=55.5J
所以，弹簧弹性势能应在下列范围内：16.5J＜EP＜55.5J
答：（1）若最终小木块停在长木板最右端，则烧断绳时弹簧储存的弹性势能是1.5J
（2）若要使小木块最终落在挡网上，则弹簧的弹性势能需满足16.5J＜EP＜55.5J．

点评 该题属于单物体多过程的情况，明确金属块的运动情况是解题的关键，灵活应用动能定理、运动学公式和平抛运动的知识是解题的关键，此题运动过程较复杂，难度较大．

练习册系列答案
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