Question

6．如图1所示，倾角为θ=37°的斜面体静止在水平面上，有一质量为2kg，直径为0.8cm的光滑小球被竖直板挡住，静止在离地h=4.05m高处的斜面上．（sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度g取10m/s²）求
（1）小球静止在图示位置时，受到竖直挡板的弹力大小？
（2）改变挡板的放置方向，仍然使小球静止在原处，求挡板对小球的弹力的最小值．
（3）撤去挡板，欲使小球和斜面体保持相对静止，并一起向左运动，斜面体该如何运动？若加速度大小恒定，请求出加速度的大小．
（4）若在（3）问的情况下，让小球和斜面体由静止开始运动，经过时间T后，突然使斜面体速度为零且保持静止，小球在空中飞行时间为t后发生第一次碰撞．试写出小球飞行时间t与斜面体运动时间T的关系式，并在图2坐标纸中作出t-T图象．

Answer 1

分析 （1）小球静止，合力为零，根据平衡条件求小球所受的竖直挡板的弹力大小．
（2）小球受三个力作用而保持静止状态，其中重力大小、方向都不变，斜面对球的支持力方向不变，大小变，挡板对球的支持力的大小和方向都变化，根据三力平衡的条件，结合平行四边形定则作图分析求解．
（3）撤去挡板，欲使小球和斜面体保持相对静止，一起应向左做匀加速直线运动．以小球为研究对象，根据牛顿第二定律求加速度．
（4）小球在空中飞行时做平抛运动，根据分运动的位移公式列式，结合小球与斜面的位移关系求解t与T的关系式，再作图．

解答 解：（1）小球静止，合力为零，根据平衡条件得：
  F₁=mgtanθ=20×tan34°N=15N
（2）小球受重力、挡板弹力F₁和斜面弹力F₂，将F₁与F₂合成为F，如下图所示：

小球一直处于平衡状态，三个力中的任意两个力的合力与第三个力等值、反向、共线，故F₁和F₂合成的合力F一定与重力等值、反向、共线．
从图中可以看出，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，F₁先变小，后变大，当F₁平行于斜面向上时最小，则：
挡板对小球的弹力的最小值 F_1min=mgsinθ=20×sin34° N=12N
（3）斜面体应向左做匀加速直线运动．
根据牛顿第二定律得：mgtanθ=ma
解得 a=7.5m/s²
（4）匀加速时有 v=aT=7.5T    （m/s）
A．若落到地面 h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得 t=0.9s
B．若落到斜面体上竖直方向：y=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
水平方向：x=vt
且有 tanθ=$\frac{y}{x}$
解之得：t=1.125T
故有 t=$\left\{\begin{array}{l}{1.125T（s），（0＜T＜0.8s）}\\{0.9s，（T≥0.8s）}\end{array}\right.$
作出t-T图象如下图所示．

答：
（1）小球静止在图示位置时，受到竖直挡板的弹力大小是15N．
（2）改变挡板的放置方向，仍然使小球静止在原处，挡板对小球的弹力的最小值是12N．
（3）斜面体向左做匀加速直线运动．加速度的大小是7.5m/s²．
（4）小球飞行时间t与斜面体运动时间T的关系式为：t=$\left\{\begin{array}{l}{1.125T（s），（0＜T＜0.8s）}\\{0.9s，（T≥0.8s）}\end{array}\right.$．作出t-T图象如图所示．

点评 解决本题的掌握力的合成法，运用共点力平衡的条件找出力与力的关系．第4题考虑问题要全面，不能漏解．