Question

6．在如图甲所示的平面坐标系内，有三个不同的静电场：第一象限内有固定在O点处的点电荷产生的电场E₁（未知），该电荷量为-Q，且只考虑该点电荷在第一象限内产生电场；第二象限内有水平向右的匀强电场E₂（未知）；第四象限内有大小为 $\frac{2kQ}{{x}_{0}^{2}}$，方向按图乙周期性变化的电场E₃，以水平向右为正方向，变化周期T=$\sqrt{\frac{8m{x}_{0}^{3}}{kQq}}$，一质量为m，电荷量为+q的离子从（-x₀，x₀）点由静止释放，进入第一象限后恰能绕O点做匀速圆周运动．以离子经过x轴时为计时起点，已知静电力常量为k，不计离子重力．求：
（1）离子在第一象限运动时速度大小和第二象限电场E₂的大小；
（2）当t=$\frac{T}{2}$时，离子的速度；
（3）当t=nT时，离子的坐标．（n=1、2、3…）

Answer 1

分析 （1）根据粒子在第一象限内做匀速圆周运动电场力提供圆周运动向心力由圆周运动半径和库仑定律求得粒子刚进入第四象限的速度；在第二象限粒子做初速度为零的匀加速直线运动，由动能定理据粒子获得的速度和位移求得第二象限的电场强度；
（2）粒子进入第四象限在竖直方向做匀速直线运动，水平方向在电场力作用下先匀加速直线运动后匀减速直线运动，根据时间由运动的合成求得离子的速度；
（3）根据粒子水平方向运动的周期性求得粒子的横坐标，再根据竖直方向的运动规律求得粒子的纵坐标．

解答 解：（1）根据牛顿第二定律可得：$\frac{kQq}{{x}_{0}^{2}}=m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{{x}_{0}}$，
解得：v₀=$\sqrt{\frac{kqQ}{{mx}_{0}}}$；
在第二定律加速过程中，根据动能定理可得：qE₂=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：${E}_{2}=\frac{kQ}{2{x}_{0}^{2}}$；
（2）离子进入第四象限后，在水平方向上，有：
v_水平=at=$\frac{q{E}_{3}}{m}•\frac{T}{2}$=$\sqrt{\frac{8kQq}{m{x}_{0}}}$
当t=$\frac{T}{2}$时，离子的速度为：$v=\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{水平}^{2}}$=$\sqrt{\frac{9kqQ}{m{x}_{0}}}$；
（3）离子在第四象限中运动时，y方向上做匀速直线运动，x方向上前半个周期向右匀加速运动，后半个周期向右匀减速运动直到速度为0；
每个周期向右运动的平均速度$\frac{v}{2}$，则nT时水平方向的位移为：
$x=\frac{v}{2}•nT=\frac{1}{2}×\sqrt{\frac{9kqQ}{m{x}_{0}}}×n×\sqrt{\frac{8m{x}_{0}^{3}}{kQq}}$=3n$\sqrt{2}{x}_{0}$
-y方向的位移大小为：y=${v}_{0}•nT=\sqrt{\frac{kqQ}{{mx}_{0}}}×n×\sqrt{\frac{8m{x}_{0}^{3}}{kqQ}}$=$2\sqrt{2}n{x}_{0}$，
所以nT时刻离子的坐标为（$3\sqrt{2}n{x}_{0}$，$-2\sqrt{2}n{x}_{0}$） （n=1、2、3…）．
答：（1）离子在第一象限运动时速度大小为$\sqrt{\frac{kqQ}{{mx}_{0}}}$，第二象限电场E₂的大小为$\frac{kQ}{2{x}_{0}^{2}}$；
（2）当t=$\frac{T}{2}$时，离子的速度为$\sqrt{\frac{9kqQ}{m{x}_{0}}}$；
（3）当t=nT时，离子的坐标为（$3\sqrt{2}n{x}_{0}$，$-2\sqrt{2}n{x}_{0}$） （n=1、2、3…）．

点评 本题中质点在复合场运动，分析受力情况，确定质点的运动情况是解题的基础．结合粒子运动的周期性，运用数学几何知识综合求解．