Question

13．为了探测某星球，载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上做匀速圆周运动，周期为T₁，总质量为m₁．随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r₂的圆轨道上做匀速圆周运动，此时登陆舱的质量为m₂，则（　　）

• A． 该星球的质量为 M=$\frac{{4{π^2}{r_2}}}{GT_1^2}$
• B． 该星球表面的重力加速度为g=$\frac{4{π}^{2}{r}_{1}}{{T}_{1}}$
• C． 登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期为T₂=T₁$\frac{\sqrt{{{r}_{2}}^{3}}}{\sqrt{{{r}_{1}}^{3}}}$
• D． 登陆舱在r₁与r₂轨道上运动时的速度大小之比为$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{m}_{1}{r}_{2}}{{m}_{2}{r}_{1}}}$

Answer 1

分析 研究飞船绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量．
研究登陆舱绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式表示出线速度和周期．再通过不同的轨道半径进行比较．

解答 解：A、研究飞船绕星球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式：
$\frac{GmM}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
载着登陆舱的探测飞船在以该星球中心为圆心，半径为r₁的圆轨道上做匀速圆周运动，周期为T₁，
解得M=$\frac{{{4π}^{2}r}_{1}^{3}}{{GT}_{1}^{2}}$，故A错误；
B、根据万有引力等于重力得该星球表面的重力加速度为g=$\frac{{{4π}^{2}r}_{1}}{{T}_{1}^{2}}$，故B错误；
C、根据万有引力提供向心力，
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$
所以登陆舱在半径为r₂轨道上做圆周运动的周期为T₂=T₁$\frac{\sqrt{{{r}_{2}}^{3}}}{\sqrt{{{r}_{1}}^{3}}}$，故C正确；
D、根据万有引力提供向心力，
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，即线速度与环绕体质量无关，
所以登陆舱在r₁与r₂轨道上运动时的速度大小之比为$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{r}_{2}}{{r}_{1}}}$，故D错误；
故选：C．

点评 求一个物理量之比，我们应该把这个物理量先用已知的物理量表示出来，再进行之比．
向心力的公式选取要根据题目提供的已知物理量或所求解的物理量选取应用．