题目内容

2．一般的曲线运动可以分成很多小段，每小段都可以看成圆周运动的一部分，即把整条曲线用一系列不同半径的小圆弧来代替．如图（a）所示，曲线上的A点的曲率圆定义为：通过A点和曲线上紧邻A点两侧的两点作一圆，在极限情况下，这个圆就叫做A点的曲率圆，其半径ρ叫做A点的曲率半径．
在场强为B的水平匀强磁场中，一质量为m、带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图所示．已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g．求：

（1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v．
（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym．
（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞$\frac{mg}{q}$）的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率vm．

分析 （1）首先分析，在任意时刻，小球都只受到重力和洛伦兹力．洛伦兹力始终方向与速度方向垂直，不做功，所以从原点到最低点只有重力做功，根据动能定理即可求得速度；
（2）设小球在最低点的速度为v，到x轴距离为h，最低点的曲率半径为2h．对于小球运动到最低点时，小球的向心力由洛伦兹力与重力的合力提供，列出向心力公式，再结合第一问中的速度就可以求出小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；
（3）加入电场后，结合动能定理和圆周运动向心力的公式即可以求得小球从O静止释放后获得的最大速率vm．

解答 解：（1）洛仑兹力不做功，由动能定理得：
mgy=$\frac{1}{2}$mv2-0  ①解得：v=$\sqrt{2gy}$  ②；
（2）设在最大距离ym处的速率为vm，
小球做圆周运动，由牛顿第二定律得：qvmB-mg=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$  ③
由②知：vm=$\sqrt{2g{y}_{m}}$   ④
由③④及R=2ym解得：ym=$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$  ⑤
（3）小球运动轨迹如图所示：

由动能定理得：（qE-mg）|ym|=$\frac{1}{2}$mvm2-0   ⑥
小球做圆周运动，由牛顿第二定律的：qvmB+mg-qE=m$\frac{{v}_{m}^{2}}{R}$  ⑦
由⑥⑦及R=2|ym|解得：vm=$\frac{2（qE-mg）}{qB}$；
答：（1）小球运动到任意位置P（x，y）处的速率v为$\sqrt{2gy}$．
（2）小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym为$\frac{2{m}^{2}g}{{q}^{2}{B}^{2}}$．
（3）当在上述磁场中加一竖直向上场强为E（E＞$\frac{mg}{q}$）的匀强电场时，小球从O静止释放后获得的最大速率vm为$\frac{2（qE-mg）}{qB}$．

点评 本题涉及到的知识点有洛伦兹力的性质（无论何时都不做功）、机械能守恒的条件与计算、圆周运动的计算，对同学们分析问题的能力要求较高，属于中档偏上的题目．

练习册系列答案
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A．波速为2m/s
B．当两列波均传到p点时，p点的振动频率加倍
C．波长为2m
D．p点为振动加强点
E．p点为振动减弱点
13．如图所示为一表面带有均匀负电荷的导体板MNO，其中MN与NO衔接于N点，MN水平且长为1m，NO长为0.6m，其中NO与MN的夹角为θ=37°，一带正电的绝缘滑块由M点以水平向左的初速度v0=4m/s滑上导体板，其中滑块与导体板间的库仑引力为滑块重力的0.2倍，两者间的动摩擦因数为μ=0.25，只考虑滑块运动轨迹所在处电荷对滑块垂直接触面的库仑引力，滑块在N处的能量损失不计．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10m/s2）
（1）求滑块第一次到N点时的速度大小；
（2）求滑块在NO段的加速度大小；
（3）试通过计算分析滑块能否再次回到N点．
10．某多用电表欧姆挡“×1”的内部电路图如图1所示，小明同学将电阻箱R和电压表V并联后接在两表笔a、b上，欲用图示的电路测量多用电表内部的电阻r（远小于电压表V的内阻）和电池的电动势E．实验的主要步骤为：

（1）表笔a为红表笔（填“红表笔”或“黑表笔”）．将选择开关转至欧姆挡“×1”，将红黑表笔短接，调节R0，使指针指在右（填“左”或“右”）侧零刻度处．
（2）改变电阻箱R的阻值，分别读出6组电压表和电阻箱的示数U、R，将$\frac{1}{U}$、$\frac{1}{R}$的值算出并记录在表格中，请将第3、5组数据的对应点在图2坐标纸上补充标出，并作出$\frac{1}{U}$-$\frac{1}{R}$图线．
组数123456
R100.050.025.016.712.59.1
$\frac{1}{R}$0.010.020.040.060.080.11
U1.200.950.740.600.500.40
$\frac{1}{U}$0.831.051.351.682.002.50
（3）根据图线得到电动势E=1.42V，内电阻r=2.41Ω．（结果均保留三位有效数字）
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7．关于下列现象的说法正确的是（　　）
A．甲图说明分子间存在间隙
B．乙图在用油膜法测分子大小时，多撒痱子粉比少撒好
C．丙图说明，气体压强的大小既与分子动能有关，也与分子的密集程度有关
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14．如图所示，小球甲从倾角θ=30°的光滑斜面上高h=5cm的A点由静止释放，同时小球乙自C点以速度v0沿光滑水平面向左匀速运动，C点与斜面底端B处的距离L=0.4m．甲滑下后能沿斜面底部的光滑小圆弧平稳地朝乙追去．（取g=10m/s2）求：
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11．某小组的同学在探究性学习中，测定木块与长木板之间的动摩擦因数时，采用如图甲所示的装置，图中光电门1、2与水平长木板一起固定，光电门1、2的距离为x，固定在木块上的遮光条宽度为d，调整定滑轮高度，使拉木块的轻线水平，忽略线与滑轮的摩擦，用力电传感器测量线对木块的力．

（1）实验过程中，在砝码盘内放适当的砝码，测量遮光片经过光电门1、2时的挡光时间t1、t2，则木块运动的加速度为a=$\frac{d^2}{2x}（{\frac{1}{t_2^2}-\frac{1}{t_1^2}}）$．
（2）通过力电传感器测出物块运动过程中所受的拉力，用光电门测出物块的加速度，改变砝码的个数，可读出多组数据，该同学作出了物块的加速度和所受拉力的关系图线如图乙所示，图线与横、纵轴交点坐标分别为c、-b，已知重力加速度为g，则木块与长木板间动摩擦因数μ=$\frac{b}{g}$．则木块、力传感器和挡光板的总质量为M=$\frac{c}{b}$．
12．“快乐向前冲”节目中有这样一种项目，选手需要借助悬挂在高处的绳飞跃到鸿沟对面的平台上，如果已知选手的质量为m，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角为α，如图所示，不考虑空气阻力和绳的质量（选手可视为质点）．下列说法正确的是（　　）
A．选手摆到最低点时所受绳子的拉力大于mg
B．选手摆到最低点时受绳子的拉力大于选手对绳子的拉力
C．选手摆到最低点的运动过程中所受重力的功率一直增大
D．选手摆到最低点的运动过程为匀变速曲线运动

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