Question

如图所示，矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场，虚线框外为真空区域；半径为R、内壁光滑、内径很小的绝缘半圆管ADB固定在竖直平面内，直径AB垂直于水平虚线MN，圆心O恰在MN的中点，半圆管的一半处于电场中．一质量为m，可视为质点的带正电电荷量为q的小球从半圆管的A点由静止开始滑入管内，小球从B点穿出后，能够通过B点正下方的C点．重力加速度为g，小球在C点处的加速度大小为5g/3．求：
（1）匀强电场场强E；
（2）小球在B点时，半圆轨道对它作用力的大小；
（3）要使小球能够到达B点正下方C点，虚线框MNPQ的高度和宽度满足什么条件；
（4）小球从B点计时运动到C点过程中，经多长时间小球的动能最小．

Answer 1

分析：（1）由题，小球在C点处的加速度大小为

5

3

g，根据牛顿第二定律求解电场强度．
（2）研究小球从A→B过程，根据动能定理求出小球经过B点时的速度大小，小球到达B点时由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解轨道对它的作用力的大小；
（3）小球从B→C过程采用运动的分解法研究：水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做自由落体运动．根据牛顿第二定律和运动学公式求出小球水平向左运动的最大距离和竖直方向运动的距离，由几何关系确定虚线框MNPQ的高度和宽度满足什么条件．
（4）当F与mg的合力与v垂直时，小球的动能最小，写出公式，代入数据即可．

解答：解：（1）由于小球在C处受到重力和电场力的共同作用，所以：
C点：F合=ma=

(qE)2+m2g2

代入数据得：E=

4mg

3q

       
（2）A→B的过程重力和电场力对小球做功，mg?(2R)-FR=

1

2

mvB2
    得：vB=

4gR 3

在B点N-mg=

mvB2

R

   半圆轨道对小球的作用力 N=

7

3

mg
（3）小球从B→C   水平方向匀减速运动，竖直方向自由落体运动
ax=

4

3

ga_y=g
设向左减速时间为tt=

vB

ax

=

3R 4g

    x=

1

2

vBt=

R

2

    y=

1

2

g(2t)2=

3R

2

宽度应满足条件L＞2R，
高度满足条件H≥

5

2

R
（4）当F与mg的合力与v垂直时，小球的动能最小，设经过的时间为t∴vy=

4

3

vxv_y=gtvx=vB-

4

3

gt
∴t=

8

25

3R g

答：（1）匀强电场场强E=

4mg

3q

；
（2）小球在B点时，半圆轨道对它作用力的大小N=

7

3

mg；
（3）要使小球能够到达B点正下方C点，虚线框MNPQ的高度和宽度满足H≥

5

2

R；
（4）小球从B点计时运动到C点过程中，经t=

8

25

3R g

时间小球的动能最小．

点评：本题采用程序法进行处理，难点是小球从B→C过程，由于小球受的是恒力，采用分解法研究．