Question

1．某行星自转周期为T，赤道半径为R，科学家经过严密计算发现，若该行星自转角速度变为原来的3倍，将会导致该行星赤道上物体恰好对行星表面没有压力，已知万有引力常量为G，则以下说法正确的是（　　）

• A． 该行星质量为$\frac{{{36π}^{2}R}^{3}}{{GT}^{2}}$
• B． 该行星的同步卫星轨道半径为r=$\root{3}{9}$R
• C． 该行星的第一宇宙速度为v=$\frac{2πR}{T}$
• D． 该行星赤道上质量为m的物体对地面的压力F_N=$\frac{{36π}^{2}mR}{{T}^{2}}$

Answer 1

分析 由“该行星自转角速度变为原来三倍时，将导致该星球赤道上物体将恰好对行星表面没有压力”可知此时赤道上的物体做匀速圆周运动，由重力充当向心力，据此可得该行星的质量．同步卫星的周期等于该星球的自转周期，由万有引力提供向心力的周期表达式可得同步卫星的轨道半径．行星地面物体的重力和支持力的合力提供向心力，由此可得支持力大小，进而可知压力大小．由圆周运动的公式求行星的第一宇宙速度．

解答 解：A、该行星自转角速度变为原来三倍，则周期将变为原来的$\frac{1}{3}$，即为$\frac{1}{3}$T，由题意可知此时该星球赤道上物体做匀速圆周运动，由重力充当向心力，则有：$G\frac{Mm}{{R}^{2}}$=mR$\frac{4{π}^{2}}{（\frac{T}{3}）^{2}}$，解得该行星质量为：M=$\frac{36{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，故A正确；
B、该星球的同步卫星的周期等于该星球的自转周期，由万有引力提供向心力可得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mr$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，结合 M=$\frac{36{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$，得：该星球的同步卫星轨道半径为r=$\root{3}{9}$R，故B正确；
C、该行星的第一宇宙速度为 v=$\frac{2πR}{T′}$，T′是近地卫星的周期，根据开普勒第三定律知，T′＜T（同步卫星的周期），故得v＞$\frac{2πR}{T}$，故C错误
D、行星地面物体的受的引力和支持力的合力提供向心力：G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$-F_N′=mR$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得：F_N′=$\frac{32m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，由牛顿第三定律可知质量为m的物体对行星赤道地面的压力为F_N=F_N′=$\frac{32m{π}^{2}R}{{T}^{2}}$，故D错误；
故选：AB

点评 通过本题的练习要明确行星自转的时候，地面物体万有引力和支持力的合力提供向心力；“星球赤道上物体恰好对行星表面没有压力”时才由引力完全充当向心力．