Question

12．如图，AB、CD分别是两个质量均为m、可以绕A、C两固定水平光滑转轴转动的匀质细杆，D为AB杆的中点，且AC=AD，现在B端施加一个始终垂直AB杆的力F 使杆处于静止状态，DC与水平面的夹角为α，g为重力加速度．则下列说法正确的是（　　）

• A． 若CD与AB杆接触处光滑，D端受到的CD杆的作用力大小为$\frac{mg}{2}$
• B． 若CD与AB杆接触处光滑，D端受到的CD杆的作用力大小为$\frac{mgcosα}{2}$
• C． 若CD与AB杆接触处有摩擦，则力F比接触处光滑时要大
• D． 无论接触处是否光滑，及转动方向如何，力F均为一定值

Answer 1

分析 设AB杆的长度是2L，然后对杆CD进行受力分析，画出各个力的力臂，然后又力矩平衡的条件即可解答．

解答 解：设AB杆的长度是2L，杆CD进行受力分析，画出各个力的力臂如图：
则重力的力臂：${L}_{1}=\overline{CM}=\overline{CP}•cosα=\overline{CA}•cosα•cosα=L•co{s}^{2}α$  ①
CD的支持力的力臂：${L}_{2}=CN=L+Lcos2α=L（1+cos2α）=L•2co{s}^{2}α$   ②
由力矩平衡的条件得：mg•L₁=F_N•L₂   ③
联立①②③得：${F}_{N}=\frac{1}{2}mg$
A、由以上分析可得，D端受到的CD杆的作用力大小为为$\frac{1}{2}$mg．故A正确，B错误；
C、D、若C与AB杆接触处有摩擦，杆AB要分成顺时针转动与逆时针转动两种情况：
1．杆AB顺时针转动时，杆CD相对于AB向上运动，CD在D点受到的摩擦力的方向向下，摩擦力产生顺时针方向的力矩，由力矩平衡的条件得：
mg•L₁+M_f=F_N′•L₂
所以此时${F}_{N}′＞\frac{1}{2}mg$
2．杆AB逆时针转动时，杆CD相对于AB向下运动，CD在D点受到的摩擦力的方向向上，摩擦力产生逆时针方向的力矩，由力矩平衡的条件得：
mg•L₁=F_N″•L₂+M_f
所以：${F}_{N}″＜\frac{1}{2}mg$．故C错误，D错误．
故选：A

点评 该题考查力矩的平衡问题，画出力，正确找出各个力的力臂是解题的关键．基础题目．