Question

11．如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长为L的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°．小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动，求
（1）小球做匀速圆周运动的向心加速度；
（2）小球做匀速圆周运动的向心力大小；
（3）若使圆锥体对小球的支持力恰好为零，需要多大的线速度．

Answer 1

分析 根据圆周运动公式求解向心加速度和向心力．
对小球分析，当小球的线速度达到最大时，对圆锥体表面的压力为零，根据牛顿第二定律求出小球在水平面内做圆周运动的最大线速度．

解答 解：（1）小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动，圆周半径为：r=$\frac{1}{2}$L，
根据圆周运动公式得向心加速度为：a=$\frac{{v}^{2}}{r}$=$\frac{{2v}^{2}}{L}$，
（2）根据牛顿第二定律得向心力大小为：F=ma=m$\frac{{2v}^{2}}{L}$，
（3）当角速度达到最大时，对圆锥体表面的压力为零，根据牛顿第二定律得：
mgtan30°=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=$\frac{{2v}^{2}}{L}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$，
答：（1）小球做匀速圆周运动的向心加速度是$\frac{{2v}^{2}}{L}$，
（2）小球做匀速圆周运动的向心力大小是m$\frac{{2v}^{2}}{L}$；
（3）若使圆锥体对小球的支持力恰好为零，需要的线速度是$\sqrt{\frac{\sqrt{3}gL}{6}}$．

点评 解决本题的关键抓住临界状态，即小球对圆锥面的压力为零，结合牛顿第二定律进行求解．