题目内容

如图所示，有一内表面光滑的金属盒，底面长为L=1.2m，质量为m1=1kg，放在水平面上，与水平面间的动摩擦因数为μ=0.2，在盒内最右端放一半径为r=0.1m的光滑金属球，质量为m2=1kg，现在盒的左端给盒施加一个水平冲量I=3N?s，（盒壁厚度，球与盒发生碰撞的时间和能量损失均忽略不计）．g取10m/s2，求：
（1）金属盒能在地面上运动多远？
（2）金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间多长？
分析：（1）根据动量定理求出金属盒获得的速度，金属盒所受摩擦力为F=μ（m1+m2）g=4N，金属盒与金属球之间的碰撞没有能量损失，且金属盒和金属球的最终速度都为0，以金属盒和金属球为研究对象，运用动能定理即可求解；
（2）球与盒发生碰撞的时间和能量损失均忽略不计，即发生了弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可求出碰后两者的速度，由于质量相等，每碰撞一次，两者就会交换速度，逐次分析碰撞间隙盒前进的位移，分析能发生几次碰撞，再根据动量定理求时间．
解答：解：（1）由于冲量作用，m1获得的速度为v=
I
m1
=3m/s，
金属盒所受摩擦力为F=μ（m1+m2）g=4N，由于金属盒与金属球之间的碰撞没有能量损失，且金属盒和金属球的最终速度都为0，以金属盒和金属球为研究对象，由动能定理得：-Fs=0-
1
2
m1v2
解得：s=1.125m
（2）因r=0.1m，则当盒前进s1=1m时与球发生碰撞，设碰前盒的速度为v1，碰后速度为v1′，球碰后速度为v2，则对盒，应用动能定理：
-Fs1=
1
2
m1
v
2
1
-
1
2
m1v2，解得v1=1m/s
由于碰撞中动量守恒、机械能守恒，有：
   m1v1=m1v1′+m2v2，
 
1
2
m1
v
2
1
=
1
2
m1
v
′2
1
+
1
2
m2
v
2
2

联立以上方程得：v1′=0，v2=1m/s．
当球前进1m时与盒发生第二次碰撞，碰撞前球的速度为1m/s，盒子的速度为0，碰撞后球的速度为0，盒子的速度变为v2=1m/s，
以金属盒为研究对象，利用动能定理得：
-Fs2=0-
1
2
m1
v
2
2
，解得：s2=0.125m．
所以不会再与球碰，
则盒子运动时间可由动量定理给出：设盒子前进s1=1m所用时间为t1，前进s2=0.125m所用时间为t2，则：
-Ft1=m1v1-m1v，
-Ft2=0-m1v2，且v1=v2=1m/s
代入数据得：t1=0.5s，t2=0.25s
在盒两次运动之间还有一段时间t3为小球在运动，t3=s1/v2=1s
则金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间t=t1+t2+t3=1.75s
答：
（1）金属盒能在地面上运动1.125m．
（2）金属盒从开始运动到最后静止所经历的时间是1.75s．
点评：解答本题要知道碰撞过程中动量、机械能守恒，且m1=m2，则碰撞时交换速度，且金属盒的初动能全部转化为内能，难度较大．
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