Question

19．如图所示，足够长的金属导轨MN和PQ与R相连，平行地放在水平桌面上，质量为m的金属杆可以无摩擦地沿导轨运动．导轨与ab杆的电阻不计，导轨宽度为L，磁感应强度为B的匀强磁场垂直穿过整个导轨平面．现给金属杆ab一个瞬时冲量I₀，使ab杆向右滑行．
（1）求回路的最大电流．
（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度多大？
（3）杆ab从开始运动到停下共滑行了多少距离？

Answer 1

分析 （1）给金属杆ab一个瞬时冲量I₀，ab杆将切割磁感线产生感应电流，受到安培力阻碍而做减速运动，速度减小，安培力大小随之减小，则加速度减小．可知杆的运动情况．
金属杆在导轨上做减速运动，刚开始时速度最大，由E=BLv和I结合求出最大电流．
（2）根据E=BLv，I=$\frac{E}{R}$和F=BIL推导出安培力表达式，由牛顿第二定律求解加速度．
（3）由动能定理求解．

解答 解：（1）由动量定理有：I₀=mv₀-0，
解得：v₀=$\frac{{I}_{0}}{m}$，
由题可知金属杆做减速运动，刚开始有最大速度时有最大为：
E_m=BLv，
所以回路最大电流为：Im=$\frac{BL{I}_{0}}{mR}$；
（2）设此时杆的速度为v，由能量守恒有：
Q=$\frac{1}{2}$mv₀²-$\frac{1}{2}$mv²，
解得：v=$\sqrt{\frac{{I}_{0}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{2Q}{m}}$，
由牛顿第二定律F_A=BIL=ma及闭合电路欧姆定律有：I=$\frac{BLv}{R}$，
解得：a=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$$\sqrt{\frac{{I}_{0}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{2Q}{m}}$；
（3）对全过程应用动量定理有：-$\sum_{\;}^{\;}B{I}_{i}L•△t$=0-I₀，$\sum_{\;}^{\;}{I}_{i}•△t$=q，
则：q=$\frac{{I}_{0}}{BL}$，
又：q=It=$\frac{BLx}{R}$，其中x为杆滑行的距离
所以有：x=$\frac{{I}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$
答：（1）回路最大电流是$\frac{BL{I}_{0}}{mR}$．
（2）当滑行过程中电阻上产生的热量为Q时，杆ab的加速度为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{mR}$$\sqrt{\frac{{I}_{0}^{2}}{{m}^{2}}-\frac{2Q}{m}}$．
（3）杆ab从开始运动到停下共滑行了$\frac{{I}_{0}R}{{B}^{2}{L}^{2}}$．

点评 本题通过杆的受力情况来分析其运动情况，关键要抓住安培力大小与速度大小成正比．