题目内容

2．如图，在金属导轨MNC和PQD中，MN与PQ平行且间距为L=1m，MNQP所在平面与水平面夹角α=37°．N、Q连线与MN垂直，M、P间接有阻值R=10Ω的电阻．光滑直导轨NC和QD在同一水平面内，与NQ的夹角均为θ=53°．ab棒的初始位置在水平导轨上与NQ重合．ef棒垂直放在倾斜导轨上，与导轨间的动摩擦因数为μ=0.1，由导轨上的小立柱1和2阻挡而静止．金属棒ab和ef质量均为m=0.5kg，长均为L=1m．空间有竖直方向、磁感应强度B=2T的匀强磁场（图中未画出）．两金属棒与导轨保持良好接触，ef棒的阻值R=10Ω，不计所有导轨和ab棒的电阻．假设最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等．忽略感应电流产生的磁场．若ab棒在拉力F的作用下，以垂直于NQ的速度v1=1m/s在水平导轨上向右匀速运动，且运动过程中ef棒始终静止（g取10m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）．
（1）求金属棒ab运动到x=0.3m处时，经过ab棒的电流大小；
（2）推导金属棒ab从NQ处运动一段距离x过程中拉力F与x的关系式；
（3）若ab棒以垂直于NQ的速度v2=2m/s在水平导轨上向右匀速运动，在NQ位置时取走小立柱1和2，且运动过程中ef棒始终静止．求此状态下磁感应强度B的最大值（此问结果可只保留一位有效数字）．

分析 （1）导体棒ab做切割磁感线运动，根据切割公式列式求解感应电动势，根据欧姆定律列式求解经过ab棒的电流大小；
（2）根据安培力公式FA=BIL列式求解安培力，拉力F与安培力平衡，根据平衡条件求解拉力F与x的关系式；
（3）考虑临界情况，即在图示位置导体棒ef恰好不上滑，此时安培力最大，对导体棒ab和ef分别受力分析，根据平衡条件列式分析．

解答 解：（1）如图，ab棒滑行距离为x时，ab棒在导轨间的棒长：

Lx=L-2xcotθ=1-1.5x，
此时，ab棒产生的电动势Ex=Bv1Lx，
流过ab棒的电流Iab=$\frac{E_x}{{\frac{R}{2}}}$=0.22 A；
（2）拉力F与x的关系式F=BIabLx
代入数据得F=BIabLx=0.8（1-1.5x）2
（3）流过ef棒的电流Ief=$\frac{E_x}{R}$　①
ef棒所受安培力Fx=BIefL　②
联立①②，解得，Fx=$\frac{{{B^2}{v^2}L}}{R}$（L-2xcot θ）　③
由③式可得，Fx在x=0和B为最大值Bm时有最大值F1．
由题意知，ab棒所受安培力方向必水平向左，ef棒所受安培力方向必水平向右，使F1为最大值的受力分析如图所示，图中fm为最大静摩擦力，

则有：F1cos α=mgsin α+μ（mgcos α+F1sin α）　④
联立③④，代入数据得，Bm=$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mg（sinα+μcosα）R}{{（cosα-μsinα）{v_2}}}}=4.79T$；
该磁场方向可竖直向上，也可竖直向下；
答：（1）金属棒ab运动到x=0.3m处时，经过ab棒的电流大小为0.22A；
（2）金属棒ab从NQ处运动一段距离x过程中拉力F与x的关系式为F=0.8（1-1.5x）2；
（3）此状态下磁感应强度B的最大值约为4.79T．

点评 本题是力电综合问题，难点在于电流是变化的，关键是求解出电流和安培力表达式分析，第三问关键抓住临界状态，即安培力最大时恰好不上滑．

练习册系列答案
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6．如图所示，表面光滑的固定斜面顶端安装一个定滑轮，小物块A、B用轻绳连接并跨过定滑轮（不计滑轮的质量和摩擦）．初始时刻，手扶物块B使A、B处于静止状态．松手后A下落、B沿斜面上滑，则从松手到物块A着地前的瞬间（　　）
A．由于绳子的拉力做功，所以A、B为系统机械能不守恒
B．轻绳对物块B做的功等于物块B的机械能增量
C．物块A的重力势能的减少量等于物块A和B的动能增加量
D．物块A的机械能与物块B的重力势能之和减小
13．如图所示，一正方形闭合金属线框abcd放在粗糙绝缘水平面上，在其右侧有边界为c′d′的匀强磁场，磁场磁感应强度为B，方向垂直于水平面向下．正方形闭合金属线框的边长为L、质量为m、电阻为R，线框与水平面间的动摩擦因数为u．开始时金属线框的ab边与磁场边界c′d′重合．现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，停止后金属线框的dc边与磁场边界c′d′的距离也为L．则下列说法正确的是（　　）
A．整个过程中，该装置产生的总热量为$\frac{1}{2}$mv02
B．整个过程中，该装置产生的总热量为2μmgL
C．整个过程中，ab边产生的焦耳热为$\frac{1}{8}$mv02
D．整个过程中，ab边产生的焦耳热为$\frac{1}{8}$mv02-$\frac{1}{2}$umgL
10．电磁感应现象是电磁学中最重大的发现之一，它揭示了电、磁现象之间的本质联系．电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比，即E=n$\frac{△Φ}{△t}$，这就是法拉第电磁感应定律．
（1）如图所示，MN与PQ为在同一水平面内的平行光滑金属导轨，处于磁感应强度为B的匀强磁场里，线框平面跟磁感线垂直，设金属棒ab的长度为L，它以速度v向右匀速运动．请根据法拉第电磁感应定律推导出闭合电路的感应电动势E=BLv．
（2）已知导轨间距L=0.5m，电阻不计，在导轨左端接阻值为R=0.6Ω的电阻，整个金属导轨属于竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B=2T，将质量m=1kg、电阻r=0.4Ω的金属杆ab垂直跨接在导轨上，金属杆ab在水平拉力F的作用下由静止开始向右做匀加速运动．开始时，水平拉力为F0=2N．
①求2s末回路中的电流大小；
②已知开始2s内电阻R上产生的焦耳热为6.4J，求该2s内水平拉力F所做的功．
17．竖直平面内有一半径为r、电阻为R1、粗细均匀的光滑半圆形金属环，在M、N处与距离为2r、电阻不计的平行光滑金属导轨ME、NF相接，E、F之间接有电阻R2，已知R1=12R，R2=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的匀强磁场Ⅰ和Ⅱ，磁感应强度大小均为B．现有质量为m、电阻不计的导体棒ab，从下图中半圆环的最高点A处由静止下落，在下落过程中导体棒始终保持水平，与半圆形金属环及轨道接触良好，设平行导轨足够长．已知导体棒下落r/2时的速度大小为v1，下落到MN处时的速度大小为v2．求：
（1）求导体棒ab从A处下落到MN和CD之间的加速度大小；
（2）若导体棒ab进入磁场Ⅱ后棒中电流大小始终不变，求磁场Ⅰ和Ⅱ之间的距离h和R2上的电功率P2；
（3）当CD边界在某一位置时，导体棒ab进入磁场恰好能做匀速直线运动．若再将磁场Ⅱ的CD边界略微下移，已知此时导体棒ab刚进入磁场Ⅱ时的速度大小为v3，要使其在外力F作用下做匀加速直线运动，加速度大小为a，求所加外力F随时间变化的关系式．
7．将硬导线中间一段折成半圆形，使其半径为r（m），让它在磁感应强度为B（T）、方向如图所示的匀强磁场中绕轴MN匀速转动，转速为n（r/s），导线在a、b两处通过电刷与外电路连接，外电路接有阻值为R（Ω）的电阻，其余部分的电阻不计，则（　　）
A．通过电阻R的电流恒为$\frac{Bn{π}^{2}{r}^{2}}{R}$
B．电阻R两端的电压的最大值为Bnπ2r2
C．半圆导线从图示位置转过180°的过程中，通过电阻R的电荷量为$\frac{B{πr}^{2}}{R}$
D．电阻R上消耗的电功率为$\frac{（Bn{π}^{2}{r}^{2}）^{2}}{R}$
14．一只新买的篮球原来里面没有气体，现给它充气到3P0（P0为当时的大气压），此时篮球半径为R，若篮球壁的厚度可忽略不计，则这部分气体原来在大气中的体积为4πR3；此时这只篮球单位长度上的张力为P0R．（球体的体积公式为V=$\frac{4}{3}π{R^3}$，表面积公式为S=4πR2，设温度不变）
11．如图所示，车厢内用两根细绳a、b系住一个质量为m的小球，处于静止状态，其中b细绳水平，a细绳与竖直方向夹角θ=37°．当车子向右以a=0.8g的加速度加速运动时两绳中的拉力Ta、Tb分别为（　　）
A．Ta=$\frac{5}{4}$mg、Tb=$\frac{3}{4}$mgB．Ta=$\frac{4}{3}$mg、Tb=0C．Ta=0、Tb=$\frac{5}{4}$mgD．Ta=$\frac{\sqrt{41}}{2}$mg、Tb=0
12．如图所示，将质量为m的滑块放在倾角为θ的固定斜面上匀速下滑，若滑块与斜面之间的最大静摩擦力合滑动摩擦力大小相等，重力加速度为g，则滑块与斜面之间的动摩擦因数为多大．

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