Question

1．2015年11月21日，我国成功将“老挝一号”通信卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．假设“老挝一号”卫星围绕地球做匀速圆周运动．它距地球表面高度为h，运行的周期为T，地球的半径为R，忽略其他天体对“老挝一号”卫星的引力作用，不考虑地球自转的影响．则（　　）

• A． “老挝一号”卫星运行时的向心加速度大小为$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$
• B． “老挝一号”卫星运行时的线速度大小为$\frac{2π\sqrt{R（R+h）^{3}}}{RT}$
• C． 地球表面的重力加速度大小为$\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
• D． 地球的第一宇宙速度大小为$\frac{2π\sqrt{R（R+h）^{3}}}{RT}$

Answer 1

分析 根据向心加速度的公式即可求出向心加速度；
根据圆周运动的知识$v=\frac{2πr}{T}$求出卫星线速度的大小
根据万有引力在地球的表面等于重力求出地球表面的重力加速度；
地球第一宇宙速度是靠近地球的环绕速度，由万有引力提供向心力求解．

解答 解：已知地球的半径为R，卫星距地球表面的高度为h，匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G，设卫星的质量为m．
A、根据向心加速度与周期的关系可得：a=$\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}=\frac{4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$．故A错误；
B、根据线速度和周期的关系得卫星线速度的大小为：v=$\frac{2π（R+h）}{T}$．故B错误；
C、根据万有引力提供向心力得：$\frac{GMm}{（R+h）^{2}}=\frac{m•4{π}^{2}（R+h）}{{T}^{2}}$
在地球的表面：mg=$\frac{GMm}{{R}^{2}}$
联立可得：g=$\frac{4{π}^{2}（R+h）^{3}}{{R}^{2}{T}^{2}}$．故C错误；
D、设地球第一宇宙速度为υ′，则有$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{v{′}^{2}}{R}$
联立，得：v′=$v\sqrt{\frac{R+h}{R}}=\frac{2π（R+h）}{T}\sqrt{\frac{R+h}{R}}$=$\frac{2π\sqrt{R（R+h）^{3}}}{RT}$．故D正确．
故选：D

点评 能正确根据卫星运动时的向心力由万有引力提供列出等式求解，第一宇宙速度也是近星的环绕速度．