Question

8．如图甲所示，足够长的平行金属导轨MN、PQ水平放置且间距L=0.3m，导轨电阻忽略不计，其间连接有阻值R=0.8Ω的定值电阻，开始时放置着垂直导轨的金属杆ab，金属杆质量为m=0.1kg、电阻r=0.4Ω，金属杆与导轨接触良好，金属杆与导轨间的动摩擦因数为μ=0.1，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=0.5T，金属杆ab在与之垂直的水平外力F作用下由静止开始运动，理想电压传感器即时采集电压U并输入电脑，获得的电压U随时间t变化的关系如图乙所示，求：
（1）金属杆1.0s内通过的位移；
（2）1.0s末拉力F的瞬时功率；
（3）若3.0s内电阻R上产生的热量是0.45J，则外力F做的功是多少焦？

Answer 1

分析 （1）由导体棒切割磁感线产生感应电动势公式求出感应电动势，由闭合电路的欧姆定律求出电路电流，由图象求出1s末电路电压值，然后求出金属棒的加速度，再由运动学公式求出其位移．
（2）由安培力公式求出安培力，由牛顿第二定律求出3s末的拉力，然后由功率公式P=Fv求出拉力的瞬时功率．
（3）由运动学求出3s末金属杆的速度，求出整个电路产生的热量，由功能关系求解外力F做的功．

解答 解：（1）由图象知，U=kt=0.2t
金属杆切割磁感线产生感应电动势：E=BLv
电压表示数，即R两端电压：U=$\frac{R}{R+r}$E=$\frac{R}{R+r}$BLv
由图乙所示图象可知，U与t成正比，则v与t成正比，金属杆做匀加速直线运动，则：U=0.1at
由图乙所示图象可知：t=1s时，U=0.2V
解得：a=2m/s²
金属杆的位移：x=$\frac{1}{2}$at²=$\frac{1}{2}$×2×1²=1m；
（2）1s末金属杆的速度：v=at=2×1=2m/s，
对金属棒由牛顿第二定律得：F-μmg-F_安=ma
安培力：F_安=BIL=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$=$\frac{0．{5}^{2}×0．{3}^{2}×2}{0.8+0.4}$N=0.0375N，
代入数据解得：F=1.2375N，
1s末力F的瞬时功率 P=Fv=1.2375×2 W=2.475 W；
（3）若3.0s内电阻R上产生的热量是 Q_R=0.45J，则金属杆产生的热量是 Q_r=$\frac{r}{R}{Q}_{R}$=$\frac{0.4}{0.8}$×0.45J=0.225J
3s内金属杆的位移 x=$\frac{1}{2}a{t}_{3}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{3}^{2}$m=9m
3s末杆的速度为 v=at₃=2×3=6m/s
根据功能关系得：
外力F做的功 W=Q_r+Q_R+μmgx+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
代入解得 W=0.375J
答：（1）金属杆ab在1.0s内通过的位移为1m．（2）1.0s末拉力F的瞬时功率为2.475 W．（3）若3.0s内电阻R上产生的热量是0.45J，则外力F做的功是0.375J．

点评 本题是一道电磁感应与电路、运动学相结合的综合题，分析清楚棒的运动过程、由图象找出某时刻所对应的电流、应用相关知识，是正确解题的关键．