Question

14．甲、乙两颗人造地球卫星在同一轨道平面上的不同高度处同向运动（可视为匀速圆周运动），甲距地面的高度为地球半径的0.5倍，乙距地面的高度为地球半径的5倍，两卫星的某一时刻正好位于地球表面某点的正上空．求：
（1）两卫星运行的线速度之比？
（2）乙卫星至少要经过多少周期，两卫星间的距离才会达到最大？

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出线速度与轨道半径的关系，结合轨道半径之比求出线速度之比．
根据周期与轨道半径的关系求出周期之比，结合两卫星转过的角度关系求出两卫星距离最大时经过的时间．

解答 解：（1）卫星的向心力由万有引力提供，有：$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
甲的轨道半径为1.5R，乙的轨道半径为6R，可知甲乙的轨道半径之比为1：4，
则线速度之比为2：1．
（2）根据$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r得：
T=2π$\sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，
因为轨道半径之比为1：4，则周期之比T_甲：T_乙=1：8，
又因为卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差π：$\frac{2π}{{T}_{甲}}$t-$\frac{2π}{{T}_{乙}}$t=π，
解得：t=$\frac{{T}_{乙}}{14}$．
答：（1）两卫星运行的线速度之比为2：1．
（2）乙卫星至少要经过$\frac{{T}_{乙}}{14}$，两卫星间的距离才会达到最大．

点评 该题考查万有引力定律的一般应用，其中卫星间的距离第一次最大时，它们转过的角度差π是解决问题的关键．属于中档题目．