Question

15．一个电子，质量为m，电量为-e，从图中y轴上的M点（0，h）垂直y轴射入第一象限，在第一象限中有y轴正向的匀强电场，场强为E，在电场中运动后，由x轴上的N点（d，0）射入第四象限，在第四象限中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B．
（1）求电子在M点的速度大小，N点的速度大小和方向（用速度与x轴的夹角的正切表示）；
（2）求电子在磁场中动的轨道半径以及周期．

Answer 1

分析 （1）从M到N的过程中，电子在电场力的作用下做的是类平抛运动，根据类平抛运动的规律计算N点的速度大小和方向；
（2）电子在磁场中在到洛伦兹力的作用下做圆周运动，洛伦兹力作为向心力计算半径和周期的大小．

解答 解：（1）从M点到N点的运动分解为x方向和y方向
x方向匀速直线运动，有：d=V_Mt
y方向做匀加速直线运动，有：$h=\frac{1}{2}a{t^2}$
运动的加速度大小为：$a=\frac{eE}{m}$
y方向上的大小为：V_Ny=at
合速度的大小为：$d\sqrt{\frac{eE}{2mh}}$
${V_N}=\sqrt{V_M^2+V_{Ny}^2}$
夹角：$tanα=\frac{{{V_{Ny}}}}{V_M}$
解得：${V_M}=d\sqrt{\frac{eE}{2mh}}$；
V_N=$\sqrt{\frac{{eE{d^2}+4eE{h^2}}}{2mh}}$；
$tanα=\frac{2h}{d}$
（2）在磁场中做圆周运动时，洛伦兹力提供向心力为：$e{V_N}B=m{\frac{V_N}{R}^2}$
解得半径的大小为：$R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{{mE（4{h^2}+{d^2}）}}{2eh}}$
周期的大小为：$T=\frac{2πR}{V_N}=\frac{2πm}{eB}$
答：（1）电子在M点的速度大小为$d\sqrt{\frac{eE}{2mh}}$，N点的速度大小为$\sqrt{\frac{{eE{d^2}+4eE{h^2}}}{2mh}}$，夹角的正切值为$\frac{2h}{d}$；
（2）电子在磁场中动的轨道半径为$\frac{1}{B}\sqrt{\frac{mE（4{h}^{2}+{d}^{2}）}{2eh}}$，周期为$\frac{2πm}{eB}$．

点评 电子在电场中做类平抛运动的研究方法是运动的分解，而磁场中圆周运动的研究方法是画轨迹，都常用的思路，难度不大．