Question

4．许多游乐场设施利用向心加速度来使游客感觉到刺激，因此游乐场有“十个项目九个转”之说．某游乐场有一个水上过山车项目，如图所示：游客乘坐橡皮艇（图中用一小球表示，橡皮艇和游客的总质量为m）从离水平滑道AB高为h=4R的倾斜光滑滑道顶端由静止开始滑下，进入水平滑道AB（阻力不计）和水平滑道下方半径为R的圆形管道（R远大于管道内径），游客乘坐橡皮艇沿圆形管道运动一周后，由B点水平抛出落入一个大水池中，水池的上边缘DE与圆形管道的圆心O等高．某一次游客乘坐橡皮艇在圆形管道内运动过程中可视为阻力f大小不变．游客乘坐橡皮艇多次从光滑滑道顶端静止开始下滑，橡皮艇沿圆形管道运动时，管道里面有水从内壁流进或排出，改变管道里的水量，可以改变对橡皮艇的阻力f，已知对橡皮艇阻力f最大值为f₁=$\frac{3mg}{2π}$，最小值为f₂=$\frac{mg}{2π}$，重力加速度为g．则游客乘坐橡皮艇多次从光滑管道顶端静止开始滑下，该设施正常工作时，求：
（1）游客乘坐橡皮艇在最低点C时，管道对橡皮艇的支持力最大值；
（2）游客乘坐橡皮艇可以安全落入水池中，BD间的水平距离最小值；
（3）若BD间的水平距离采用（2）问中的数值，使得游客乘坐橡皮艇可以安全落入水池中，水池的宽度DE满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）当阻力取最小值时，橡皮艇到达最低点C的速度最大，根据动能定理求出C点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的最大值．
（2）当摩擦力取最大值时，到达B点的速度最小，则平抛运动的水平位移最小，根据动能定理求出B点的最小速度，根据高度求出平抛运动的时间，结合B点的速度和时间求出水平距离的最小值．
（3）根据动能定理求出B点的最大速度，结合平抛运动的规律求出DE的最小值．

解答 解：（1）要使最低点支持力最大，f取最小值f₂，从静止到C点，
由动能定理得，$mg（h+2R）-{f}_{2}•2πR=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$  ①
在C点，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$，②
联立①②可得，F_N=12mg  ③
（2）要使BD水平距离最小，f取最大值f₁，从静止到B点，
由动能定理得，$mgh-{f}_{1}•2πR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$   ④
从B到D，做平抛运动，在水平方向上：L=v_Bt   ⑤
竖直方向上：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$    ⑥
联立④⑤⑥可得，L=2R    ⑦
（3）要使橡皮艇安全落入水中，最远不能超越E点，
从B到E，水平方向上：L+x_DE=v_B′t    ⑧
当x_DE最大时，一定安全，此时v_B′对应最大值，即f取最小值f₂，从静止到B点，
由动能定理得，$mgh-{f}_{2}•2πR=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}$    ⑨
联立⑧⑨可得${x}_{DE}=2（\sqrt{3}-1）R$．
因此，水池的宽度应满足${x}_{DE}≥2（\sqrt{3}-1）R$．
答：（1）游客乘坐橡皮艇在最低点C时，管道对橡皮艇的支持力最大值为12mg；
（2）游客乘坐橡皮艇可以安全落入水池中，BD间的水平距离最小值为2R；
（3）水池的宽度应满足${x}_{DE}≥2（\sqrt{3}-1）R$．

点评 本题考查了动能定理和圆周运动、平抛运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．