Question

19．有一辆质量为m=1.8×10³kg的小汽车驶上圆弧半径为40m的拱桥，取g=10m/s²．
（1）当汽车到达桥顶的速度v₁=10m/s时，对桥的压力是多大？
（2）汽车以多大速度经过桥顶时恰好对桥没有压力？

Answer 1

分析 （1）汽车在拱桥部，靠重力和支持力的合力提供向心力，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出汽车对桥的压力．
（2）当汽车对桥的压力为零时，桥对汽车的支持力也为零，汽车靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出汽车在桥顶的速度．

解答 解：（1）汽车经过桥顶时，受力分析如图，由重力和支持力的合力提供向心力，则由牛顿第二定律得：
   mg-N=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
得 N=m（g-$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$）=1.8×10³×（10-$\frac{1{0}^{2}}{40}$）=1.35×10⁴N    
由牛顿第三定律，汽车对桥的压力为：N′=N=1.35×10⁴N，方向竖直向下                  
（2）汽车对桥没有压力时，汽车只受重力，重力提供向心力，则有：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
解得：v=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×40}$m/s=20m/s．
答：
（1）当汽车到达桥顶的速度v₁=10m/s时，对桥的压力是1.35×10⁴N，方向竖直向下．
（2）汽车以20m/s的速度经过桥顶时恰好对桥没有压力．

点评 解决本题的关键知道汽车在桥顶做圆周运动向心力的来源：径向合力，结合牛顿第二定律进行求解．