Question

在光滑水平面上，有一个粗细均匀的单匝正方形线圈abcd，现在外力的作用下从静止开始向右运动，穿过固定不动的有界匀强磁场区域，磁场区域的宽度为d且小于线圈边长．现测得线圈中产生的感应电动势E的大小和运动时间t变化关系如下图所示．已知图象中三段时间分别为△t₁，△t₂，△t₃，且在△t₂时间内外力为恒力．
（1）若测得线圈bc边刚进入磁场时测得线圈速度为V，bc两点间电压为U，求△t₁时间内，线圈中的平均感应电动势．
（2）若已知△t₁：△t₂：△t₃=2：2：1，则线框边长与磁场宽度比值为多少？
（3）若仅给线圈一个初速度v₀使线圈自由向右滑人磁场，试画出线圈自bc边进入磁场开始，其后可能出现的v-t图象．（只需要定性表现出速度的变化，除了初速度v₀外，不需要标出关键点的坐标）

Answer 1

分析：1、线圈bc边刚进入磁场时，bc边切割磁感线产生感应电动势，bc边相当于电源，bc间电压相当于路端电压．
2、根据图象可知，电动势大小随时间均匀增大，根据E=BLv得速度v随时间均匀增大，线框作匀加速直线运动．
3、若仅给线圈一个初速度v₀使线圈自由向右滑人磁场时，单匝正方形线圈受到向左的安培力，向右做减速运动，安培力随速度的减小而减小，所以线圈向右做加速度减小的减速运动，但可能出现三种情形．
第一种情况，若v₀比较小，当bc边到达磁场右边界前，速度就已经减为零，接下来，就保持静止．
第二种情况，当bc边到达磁场右边界时，速度还没有减小为零，接下来穿过线圈的磁通量不变化，没有感应电流，不受安培力，线圈做匀速直线运动，当ad边进入磁场后，又要受到向左的安培力，接着又做加速度减小到的减速运动．
ad边进入磁场做减速运动又有两种情形：第一，可能ad边到达磁场右边界前，速度就已经减为零；第二，可能ad边到达磁场右边界时，速度还没有经减为零，接着水平方向不受力，线圈做匀速运动．

解答：解：（1）线圈bc边刚进入磁场时，bc边切割磁感线产生感应电动势，bc边相当于电源，bc间电压相当于路端电压．
               由于bc间电压U，则感应电动势

4

3

U
设磁感应强度为B，则：

4

3

U=BLv…①
△t₁时间内，平均感应电动势E=

△φ

△t1

=

BLd

△t1

/…②
联立①②解得E=

4Ud

3v△t1

（2）根据图象可知，电动势大小随时间均匀增大，根据E=BLv得速度v随时间均匀增大，线框作匀加速直线运动．
设线框加速度a，bc边进入磁场时速度v，△t₁=△t₂=2△t₃=2△t，线框边长L，磁场宽d，
根据三段时间内线框位移，得
v?2△t+

1

2

a(2△t)2=d
v?4△t+

1

2

a(4△t)2=L
v?5△t+

1

2

a(5△t)2=L+d
解得

L

d

=

18

7

（3）若仅给线圈一个初速度v₀使线圈自由向右滑人磁场时，单匝正方形线圈受到向左的安培力，向右做减速运动，安培力随速度的减小而减小，所以线圈向右做加速度减小的减速运动，但可能出现以下几种情况．
第一种情况，若v₀比较小，当bc边到达磁场右边界前，速度就已经减为零，接下来，就保持静止，如图甲．
第二种情况，当bc边到达磁场右边界时，速度还没有减小为零，接下来穿过线圈的磁通量不变化，没有感应电流，不受安培力，线圈做匀速直线运动，当ad边进入磁场后，又要受到向左的安培力，接着又做加速度减小到的减速运动．
ad边进入磁场做减速运动又有两种情形：第一，可能ad边到达磁场右边界前，速度就已经减为零，如图乙；第二，可能ad边到达磁场右边界时，速度还没有经减为零，接着水平方向不受力，线圈做匀速运动，如图丙．
所以，若仅给线圈一个初速度v₀使线圈自由向右滑人磁场，自线圈bc边进入磁场开始，其后出现的v-t图象有如下三种情形．

答：（1）若测得线圈bc边刚进入磁场时测得线圈速度为V，bc两点间电压为U，求△t₁时间内，线圈中酌平均感应电动势为：得E=

4Ud

3v△t1

（2）若已知△t₁：△t₂：△t₃=2：2：1，则线框边长与磁场宽度比值为18：7．
（3）若仅给线圈一个初速度v₀使线圈自由向右滑人磁场，自线圈bc边进入磁场开始，其后出现的v-t图象如上面图甲、图乙、图丙三种情形．

点评：此题考查了多个知识点，法拉第电磁感应定律，导体切割磁感线产生的感应电动势，闭合电路，安培力，力与运动的关系，是一道电磁学和力学的综合题，属于难题．