Question

如图所示，光滑轨道ABCD固定在竖直平面内，由直轨道AB与圆弧轨道BCD平滑相切对接组成．圆弧的圆心为O点，半径大小为R，OB与竖直方向OC夹角θ=37°，D点与圆心O点等高；竖直且过B点的直线PQ右侧空间内，被水平且过O点、D点的直线MN分为下区域Ⅰ和上区域Ⅱ，下区域Ⅰ内存在水平向右的匀强电场，场强为

E

1

，上区域Ⅱ内存在垂直纸面向里的匀强电场，场强为

E

2

．质量为m，电荷量为q的带正电小滑块（可视为质点），从直轨道上A点由静止开始下滑，A点离轨道最低点C的高度为2R，已知

E

1

=

mg

q

，

E

2

=

3mg

4q

，求：
（1）小滑块滑到C点时对轨道压力大小；
（2）小滑块离开D点后，运动到与D点等高时，距D点的水平距离；
（3）小滑块离开D点后，在区域Ⅱ运动过程中，经多长时间，它所受合外力的瞬时功率最小．

Answer 1

（1）小滑块在C点：F_C-mg=m

vc2

R

小滑块A→C：mg?2r+qE₁?Rsinθ=

1

2

mv_c²
已知qE₁=mg，解得：F_c=6.2mg
由牛顿第三定律F_C′=6.2mg
（2）小滑块从A→D：
mg?r+qE₁?R（1+sinθ）=

1

2

mv_D²
解得：v_D=

5.2gR

小滑块离开D点后，竖直方向做竖直上抛运动，垂直直面向里的水平方向做初速度为0的匀加速直线运动
竖直方向：t=

2vD

g

=2

5.2R g

水平方向：a=

qE2

m

=

3

4

g
s=

1

2

at²
解得：s=7.8R
（3）当qE₂与mg的合力方向与v方向垂直时，合外力的瞬时功率最小，等于零，此时v方向与水平夹角为37°
设经过的时间为t，
v_x=at=

3

4

gt
v_y=v_D-gt

vy

vx

=tan37°=

3

4

解得：t=

16

25

5.2R g

答：（1）小滑块滑到C点时对轨道压力大小为6.2mg；
（2）小滑块离开D点后，运动到与D点等高时，距D点的水平距离为7.8R；
（3）小滑块离开D点后，在区域Ⅱ运动过程中，经时间

16

25

5.2R g

，它所受合外力的瞬时功率最小．