Question

11．对某行星的一颗卫星（质量m）进行观测，已知运行的轨道半径为r的圆周，周期为T，测得行星的半径为卫星半径的$\frac{1}{10}$，求：
（1）该行星的质量M；
（2）该行星的密度ρ；
（3）此行星表面重力加速度为多大？（万有引力常量为G）

Answer 1

分析 （1）由万有引力充当向心力，则向心力公式可得出行星的质量；
（2）根据密度的定义式求解；
（3）行星表面的物体，万有引力充当重力，由万有引力公式可得出行星表面的重力加速度．

解答 解：（1）由万有引力充当向心力，根据牛顿第二定律得：
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}}{{T}^{2}}$r
M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$
（2）根据密度的定义式得
该行星的密度ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{3000π}{{GT}^{2}}$
（3）行星表面的物体，万有引力等于重力，
$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
g=$\frac{GM}{{（\frac{r}{10}）}^{2}}$=$\frac{400πr}{{T}^{2}}$
答：（1）该行星的质量是$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$；
（2）该行星的密度是$\frac{3000π}{{GT}^{2}}$；
（3）此行星表面重力加速度为是$\frac{400πr}{{T}^{2}}$．

点评 本题为万有引力定律的直接应用，注意万有引力只能求出中心天体的质量；当题目中物理是较多时，在解题时要注意区分已知量和未知量．