Question

2．如图所示，长木板B的质量M=2千克，小木块A质量m=1千克，A、B间的滑动摩擦系数u=0.2，B的长度L=1.5米，A的长度忽略不计．开始时A、B都静止，A在B的左端．今用水平恒力F=6牛拉A，求：
（1）当B固定时，水平恒力F至少作用多长时间，才能使A从B的右端滑下；
（2）当B放在光滑水平面上时，水平恒力F至少作用多长时间，才能从B的右端滑下．

Answer 1

分析 （1）在F的作用下，物体做匀加速直线运动，撤去F做匀减速直线运动，结合物体的位移之和等于L，求出匀加速直线运动的末速度，根据速度时间公式求出F作用的最短时间．
（2）当B放在光滑水平面上时，在F作用下，A做匀加速直线运动，B也做匀加速直线运动，撤去F后，A做匀减速直线运动，B继续做匀加速直线运动，结合相对位移等于L，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解．

解答 解：（1）设F作用的最短时间为t，
在恒力F作用下，A的加速度大小${a}_{1}=\frac{F-μmg}{m}=\frac{6-0.2×10}{1}=4m/{s}^{2}$，撤去F后，A的加速度大小${a}_{2}=μg=0.2×10m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$．
根据速度位移公式得，$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{1}}+\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}=L$，代入数解得v=2m/s，
则F作用的最短时间$t=\frac{v}{{a}_{1}}=\frac{2}{4}s=0.5s$．
（2）撤去F前，A的加速度大小${a}_{1}=\frac{F-μmg}{m}=\frac{6-0.2×10}{1}=4m/{s}^{2}$，B的加速度大小${a}_{3}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×10}{2}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，
设撤去F时A的速度为v_A，根据v=at知，此时${v}_{B}=\frac{1}{4}{v}_{A}$，此时相对位移的大小$△{x}_{1}=\frac{{{v}_{A}}^{2}}{2{a}_{1}}-\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{3}{32}{{v}_{A}}^{2}$，
撤去F后，对A、B组成的系统运用动量守恒得，mv_A+Mv_B=（m+M）v，
解得v=$\frac{1}{2}{v}_{A}$，
撤去F后，A的加速度大小${a}_{2}=μg=0.2×10m/{s}^{2}=2m/{s}^{2}$，做匀减速直线运动，
B的加速度大小${a}_{3}=\frac{μmg}{M}=\frac{0.2×10}{2}m/{s}^{2}=1m/{s}^{2}$，继续做匀加速直线运动，
则相对位移的大小$△{x}_{2}=\frac{{{v}_{A}}^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{2}}-\frac{{v}^{2}-{{v}_{B}}^{2}}{2{a}_{3}}=\frac{3}{16}{{v}_{A}}^{2}-\frac{3}{32}{v}_{A}$²=$\frac{3}{32}{{v}_{A}}^{2}$，
根据△x₁+△x₂=L，代入数据解得v_A=$2\sqrt{2}$m/s，
则作用的最短时间$t′=\frac{{v}_{A}}{{a}_{1}}=\frac{2\sqrt{2}}{4}s=\frac{\sqrt{2}}{2}s$．
答：（1）水平恒力F至少作用0.5s时间，才能使A从B的右端滑下；
（2）水平恒力F至少作用$\frac{\sqrt{2}}{2}s$时间，才能从B的右端滑下．

点评 解决本题的关键理清A、B在整个过程中的运动规律，结合牛顿第二定律和运动学公式综合求解，知道在什么临界情况下，F的作用时间最短是解决本题的突破口．