Question

7．在用高级沥青铺设的高速公路上，对汽车的设计限速是30m/s．汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．（g=10m/s²）
（1）如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？
（2）如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过（不起飞）圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？
（3）如果弯道的路面设计为倾斜（外高内低），弯道半径为120m，要使汽车通过此弯道时不产生侧向摩擦力，则弯道路面的倾斜角度是多少？

Answer 1

分析 （1）根据最大静摩擦力提供向心力，结合牛顿第二定律求出弯道的最小半径；
（2）在拱桥桥顶，抓住临界状态，即压力为零，结合牛顿第二定律求出圆弧拱桥的最小半径；
（3）根据重力和支持力的合力提供向心力求出弯道的倾斜角度．

解答 解：（1）汽车在水平路面上拐弯，或视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的最大静摩擦力，
有0.6mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，由速度v=30m/s，解得弯道半径r=150m，
（2）汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有$mg-N=m\frac{{v}^{2}}{R}$
为了保证安全，车对路面的压力N必须大于零．有mg$≥m\frac{{v}^{2}}{R}$，
代入数据解得R≥90m．
（3）设弯道倾斜角度为θ，汽车通过此弯道时向心力由重力及支持力的合力提供，有
$mgtanθ=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得tanθ=$\frac{3}{4}$；
故弯道路面的倾斜角度 θ=37°．
答：（1）其弯道的最小半径是150m；
（2）这个圆弧拱桥的半径至少是90m；
（3）弯道路面的倾斜角度是37°．

点评 解决本题的关键知道在各种情况下，汽车做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律进行求解，难度不大．