Question

12．如图，半径为R的半球形玻璃体置于水平桌面上，半球的上表面水平，球面与桌面相切于A点．一细束单色光经球心O从空气中摄入玻璃体内（入射面即纸面）
，入射角为45°，出射光线射在桌面上B点处．测得AB之间的距离为$\frac{R}{2}$．现将入射光束在纸面内向左平移，求射入玻璃体的光线在球面上恰好发生全反射时，光束在上表面的入射点到O点的距离．不考虑光线在玻璃体内的多次反射．

Answer 1

分析 根据几何关系求出光线从O点射入时的折射角的正弦，结合折射定律求出折射率，在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，作出光路图，根据角度关系，运用正弦定理求出光束在上表面的入射点到O点的距离．

解答 解：当光线经球心O入射时，光路图如右上图所示．设玻璃的折射率为n，由折射定律有：
n=$\frac{sini}{sinr}$    ①
式中，入射角i=45°，γ为折射角．
△OAB为直角三角形，因此sinr=$\frac{AB}{\sqrt{O{A}^{2}+A{B}^{2}}}$   ②
发生全反射时，临界角C满足：sinC=$\frac{1}{n}$    ③
在玻璃体球面上光线恰好发生全反射时，光路图如右下图所示．设此时光线入射点为E，折射光线射到玻璃体球面的D点．由题意有
∠EDO=C    ④
在∠EDO内，根据正弦定理有$\frac{OD}{sin（90°-r）}=\frac{OE}{sinC}$   ⑤
联立以上各式并利用题给条件得OE=$\frac{\sqrt{2}}{2}R$．
答：光束在上表面的入射点到O点的距离为$\frac{\sqrt{2}}{2}R$．

点评 解决本题的关键作出光路图，灵活运用数学知识，结合折射定律和全反射的知识进行求解．本题对数学几何能力要求较高，需加强这方面的训练．