Question

11．为了研究过山车的原理，物理兴趣小组提出了下列设想：如图所示，取一个与水平方向夹角为30°，长L=0.8m的倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道都是光滑的，其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，竖直圆轨道的半径R=0.6m，现使一个质量m=0.1kg的小物块从A点开始以初速度v₀沿倾斜轨道滑下，g取10m/s²，问：
（1）若v₀=5.0m/s，则小物块到达B点时的速度为多大？
（2）若v₀=5.0m/s，小物块到达竖直圆轨道的最高点时对轨道的压力为多大？
（3）为了使小物块在竖直圆轨道上运动时能够不脱离轨道，v₀大小应满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律可求得B点的速度；
（2）由机械能守恒定律可求得最高点的速度；再由向心力公式可求得最高点时的压力；
（3）要使小球不离开轨小球道，则小球要么无法到达圆心高度或者能通过最高点；再由动能定理可求得初速度的大小范围．

解答 解：（1）落到斜面上后，物体只受重力，对AB过程由机械能守恒定律可得：
mgLsin30°=$\frac{1}{2}$mv²-$\frac{1}{2}$mv₀²；
解得B点的速度v=$\sqrt{33}$m/s；
（2）对由A到圆的最高点过程由动能定理可知：
mgLsin30°-mg2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_A²；
C点时由向心力公式可得：
mg+F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
联立以上两式可得：F=0.5N；
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为0.5N；
（3）要使不离开轨道，则有两种情况，
一、是物体恰好到达圆心高度，则有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²+mgLsin30°
解得：v₀=2m/s；
只要小于2m/s；物体就不会脱离轨道；
二、物体能飞过最高点，则有：
mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
由动能定理可知：
mgLsin30°+$\frac{1}{2}$mv₀²=mg2R+$\frac{1}{2}$mv_C²；
解得；v₀=4.7m/s；即应大于4.7m/s；
答：（1）若v₀=5.0m/s，则小物块到达B点时的速度为$\sqrt{33}$m/s；
（2）若v₀=5.0m/s，小物块到达竖直圆轨道的最高点时对轨道的压力为0.5N；
（3）为了使小物块在竖直圆轨道上运动时能够不脱离轨道，v₀大小应满足v₀≤2m/s或v₀≥4.7m/s

点评 本题考查竖直面内的圆周运动的临界条件及动能定理的应用，要求学生能明确本题的物理过程，并能分段应用所学物理规律求解；同时注意对题意的把握．