Question

19．如图所示，水平传送带以v=2m/s的速率沿逆时针方向转动，在其左端与一竖直固定的光滑轨道平滑相接，右端与一半径R=0.4m的光滑半圆轨道相切，一质量m=2kg的物块（可视为质点）从光滑轨道上的某点由静止开始下滑，通过水平传送带后从半圆轨道的最高点水平抛出，并恰好落在传送带的最左端，已知物块通过半圆轨道最高点时受到的弹力F=60N，物块与传送带间的动摩擦因数μ=0.25，取重力加速度g=10m/s²，求：（计算结果可以保留根号）
（1）物块作平抛运动的初速度v₀；
（2）水平传送带的长度；
（3）电动机由于物块通过传送带而多消耗的电能E．

Answer 1

分析 （1）物块在最高点受到的重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出物块作平抛运动的初速度v₀；
（2）物块从最高点开始做平抛运动，结合平抛运动的特点求出水平距离，由图可知，该距离即为传送带的长度；
（3）分析判断物快在皮带的运动情况，求出物块在传送带上滑行的时间以及传送带的位移；最后利用能量守恒求多提供的能量．

解答 解：（1）物块在最高点受到的重力和弹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
   mg+F=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$
代入数据得：v₀=4m/s
（2）物块离开最高点后做平抛运动，由：h=$\frac{1}{2}$gt²；
得运动的时间：t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$=$\sqrt{\frac{2×2R}{g}}$=2$\sqrt{\frac{0.4}{10}}$s=0.4s
物块沿水平方向平抛的距离：L=v₀t=4×0.4=1.6m
由题可知，传送带的长度也是1.6m
（3）物块在整个运动的过程中，重力和传送带的摩擦力做功，由动能定理得：
    mg（H-2R）-μmgL=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据得：H=2m
物块到达传送带的左端的过程中重力做功，由机械能守恒得：
   mgH=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
得：v₁=$\sqrt{2gH}$=$\sqrt{2×10×2}$=2$\sqrt{10}$m/s
物块在传送带上运动的加速度大小：a=$\frac{μmg}{m}$=μg=0.25×10=2.5m/s²；
物块经过传送带的时间t′，则：
   L=v₁t′-$\frac{1}{2}$at′²；
该时间内传送带运动的距离：L′=v₁t′
传送带克服摩擦力做的功：W=fL′=μmgL′
根据能量转化的方向可知，电动机由于物块通过传送带而多消耗的电能E等于传送带克服物块的摩擦力做的功，即：
E=W
联立以上各式，代入数据解得：E=8（$\sqrt{10}$-2$\sqrt{2}$）J≈3J
答：
（1）物块作平抛运动的初速度是4m/s；
（2）水平传送带的长度是1.6m；
（3）电动机由于物块通过传送带而多消耗的电能是3J．

点评 该题结合平抛运动和机械能守恒考查传送带问题，判断物快在皮带上的运动情况是关键，灵活应用机械能、平抛运动和能量守恒定律是解题的核心．