Question

19．如图所示，质量为m的小球，由长为L 的细线系住，线能承受的最大拉力是9mg，细线的另一端固定在A点，AB是过A的竖直线，E为A正下方的一点，且AE=0.5L，过E作水平线EF，在EF上钉铁钉D，现将小球拉直水平，然后由静止释放，小球在运动过程中，不计细线与钉子碰撞时的能量损失，不考虑小球与细线间的碰撞．
（1）若钉铁钉位置在E点，请计算说明细线与钉子第一次碰撞后，细线是否会被拉断？
（2）要使小球能绕铁钉在竖直面内做完整的圆周运动，求钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值．

Answer 1

分析 （1）若钉子在E点，则小球经过B点前后瞬间，速度大小不变，半径变为原来一半，先根据动能定理求出到达B点的速度，再根据向心力公式分别求出绳子的拉力，与最大拉力比较即可判断；
（2）设在D点绳刚好承受最大拉力，当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v₁，由牛顿第二定律及机械能守恒定律列式求解x的最大值，小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，在最高点重力提供向心力，列出方程，从释放到运动到最高点的过程中运用动能定理列出方程，联立即可求解最小值，从而求出范围．

解答 解：（1）小球释放后沿圆周运动，运动过程中机械能守恒，设运动到最低点速度为v，由机械能守恒定律得：mgl=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
碰钉子瞬间前后小球运动的速率不变，碰钉子后瞬间圆周运动半径为$\frac{1}{2}$l，
碰钉子后瞬间线的拉力为F，由牛顿第二定律得：$F-mg=m\frac{{v}^{2}}{\frac{l}{2}}$
解得：F=5mg＜9mg，所以细线不会被拉断，
（2）设在D点绳刚好承受最大拉力，记DE=x₁，则：AD=$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+（\frac{l}{2}）^{2}}$
悬线碰到钉子后，绕钉做圆周运动的半径为：r₁=l-AD=l-$\sqrt{{{x}_{1}}^{2}+{（\frac{l}{2}）}^{2}}$
当小球落到D点正下方时，绳受到的最大拉力为F，此时小球的速度v₁，由牛顿第二定律有：
F-mg=m$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$结合F≤9mg
由机械能守恒定律得：mg （$\frac{l}{2}$+r₁）=$\frac{1}{2}$mv₁²
由上式联立解得：x₁≤$\frac{2}{3}l$
随着x的减小，即钉子左移，绕钉子做圆周运动的半径越来越大．转至最高点的临界速度也越来越大，但根据机械能守恒定律，半径r越大，转至最高点的瞬时速度越小，当这个瞬时速度小于临界速度时，小球就不能到达圆的最高点了．
设钉子在G点小球刚能绕钉做圆周运动到达圆的最高点，设EG=x₂，
则：AG=$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{（\frac{l}{2}）}^{2}}$，r₂=l-AG=l-$\sqrt{{{x}_{2}}^{2}+{（\frac{l}{2}）}^{2}}$
在最高点：mg≤$\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{2}}$由机械能守恒定律得：mg （$\frac{l}{2}$-r₂）=$\frac{1}{2}$mv₁²
联立得：x₂≥$\frac{\sqrt{7}}{6}l$
钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围是：$\frac{\sqrt{7}}{6}l$≤x≤$\frac{2}{3}l$
答：（1）细线与钉子第一次碰撞后，细线不会被拉断；
（2）若小球能绕钉子在竖直面内做完整的圆周运动，则钉子位置在水平线EF上距E点距离的取值范围为$\frac{\sqrt{7}}{6}l$≤x≤$\frac{2}{3}l$．

点评 本题考查的知识点比较多，涉及到圆周运动、机械能守恒定律和动能定理，要求同学们解题时能熟练运用动能定理并结合几何知识解题，难度较大．