Question

1．如图所示，一倾角θ=30°的足够长光滑斜面上有两个质量相等的小球a和b，开始时两小球相距x₀=0.6m，且以初速度v₁=5m/s，v₂=2m/s沿斜面向上运动，球a追上b发生正碰，碰撞时间极短且无机械能损失．g取10m/s²，试求：
（1）碰撞位置与b球初始位置的距离；
（2）当b球上升至最高点时，两球间的距离．

Answer 1

分析 （1）两球都沿斜面向上做匀减速直线运动，a相对b做匀速直线运动，应用匀速运动的位移公式可以求出碰撞需要的时间，然后应用匀变速直线运动的位移公式求出距离．
（2）应用匀变速运动的速度公式求出碰撞前两球的速度，两球碰撞过程系统动量守恒、机械能守恒，应用动量守恒定律与机械能守恒定律可以求出碰撞后两球的速度，然后应用匀变速直线运动的运动规律求出其位移，最后求出两球间的距离．

解答 解：（1）由牛顿第二定律得：a=$\frac{mgsinθ}{m}$=gsinθ=5m/s²，
两球碰撞前a相对b做匀速直线运动，则：（v₁-v₂）t₁=x₀，
解得：t₁=0.2s，
b的位移：x_b=v₂t-$\frac{1}{2}$at²=0.3m，即碰撞位置与b球的初始位置的距离为0.3m；
（2）两球碰撞前瞬时速度：v_a1=v₁-at₁=4m/s，方向沿斜面向上，
b球的速度v_b1=v₂-at₁=1m/s，方向沿斜面向上，此时a、b发生弹性碰撞，以沿斜面向上为正方向，由动量守恒定律得：m_av_a1+m_bv_b1=m_av_a1′+m_bv_b1′，
由能量守恒定律得：$\frac{1}{2}$m_av_a1²+$\frac{1}{2}$m_bv_b1²=$\frac{1}{2}$m_av_a1′²+$\frac{1}{2}$m_bv_b1′²，
已知：m_a=m_b，
解得：v_a1′=1m/s，v_b1′=4m/s，
碰撞后b沿斜面向上做匀减速直线运动，运动时间：△t=$\frac{{v}_{b1}′}{a}$，
碰撞后b的位移：x_b=v_b1′△t-$\frac{1}{2}$a（△t）²=1.6m，
a的位移：x_a=v_a1′△t-$\frac{1}{2}$a（△t）²=-0.8m，
a、b间的距离：△x=x_a-x_b=2.4m；
答：（1）碰撞位置与b球初始位置的距离为0.3m；
（2）当b球上升至最高点时，两球间的距离为2.4m．

点评 本题是一道力学综合题，考查了动量守恒定律、牛顿第二定律与运动学公式的应用，分析清楚物体的运动过程是解题的前提与关键，应用动量守恒定律、能量守恒定律与运动学公式可以解题．