题目内容

19．如图1所示是“嫦娥三号”奔月的过程中某阶段运动示意图．关闭动力的嫦娥三号探测器在月球引力作用下向月球靠近，在椭圆轨道B处变轨进入半径为r的圆轨道Ⅰ，此时探测器绕月球做圆周远动的周期为T．经多次变轨，“嫦娥三号”最后从圆轨道Ⅱ上的D点处变轨，进入椭圆轨道Ⅲ．由近月点C成功落月．探测器在月面实现软着陆是非常困难的，探测器接触地面瞬间速度为竖直向下的v0，大于要求的软着陆速度v1，为此，科学家们设计了一种叫电磁阻尼缓冲装置，其原理如图2所示．主要部件为缓冲滑块K和绝缘光滑的缓冲轨道MN、PQ．探测器主体中还有超导线圈（图中未画出），能产生垂直于导轨平面的匀强磁场，导轨内的缓冲滑块由高强绝缘材料制成．滑块K上绕有闭合单匝矩形线圈abcd，线圈的总电阻为R，ad边长为L．当探测器接触地面时，滑块K立即停止运动，此后线圈与轨道间的磁场作用，使探测器做减速运动，从而实现缓冲．若装置中除缓冲滑块（含线圈）外的质量为m，万有引力常量为G，月球表面的重力加速度为$\frac{g}{6}$，g为地球表面重力加速度，不考虑运动磁场产生的电场．

（1）试用上述信息求出月球的质量和半径；
（2）为使探测器主体做减速运动，匀强磁场的磁感应强度B应满足什么条件？
（3）当磁感应强度为B0时，探测器可做减速运动．若从v0减速到v1的过程中，通过线圈截面的电量为q．求该过程中线圈产生的焦耳热．

分析 （1）嫦娥三号在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，列式可求得月球的质量．物体在月球表面上时，重力等于万有引力，列式可求得月球的半径．
（2）为了使探测器作减速运动，其所受的安培力需大于其自身重力，据此列式，求得匀强磁场的磁感应强度B应满足的条件．
（3）根据通过线圈截面的电量求出探测器下降的高度，线圈产生的焦耳热等于探测器机械能的变化量．由能量守恒求解．

解答 解：（1）嫦娥三号在轨道Ⅰ做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有：$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}r$
得月球的质量 $M=\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
在月球表面，由m′•$\frac{1}{6}$g=G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$
即 $\frac{GM}{R^2}=\frac{1}{6}g$
解得月球半径 $R=\frac{2πr}{T}\sqrt{\frac{6r}{g}}$
（2）为了使探测器作减速运动，其所受的安培力需大于其自身重力
即$\frac{{{B^2}{L^2}{v_0}}}{R}$＞$m•\frac{1}{6}g$
可得 B＞$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mgR}{{6{v_0}}}}$
（3）通过线圈截面的电量为 $q=\frac{△ϕ}{R}=\frac{{{B_0}Lh}}{R}$
可得探测器下降的高度 $h=\frac{qR}{{{B_0}L}}$
线圈产生的焦耳热等于探测器机械能的变化量，则
$Q=\frac{1}{2}m（v_0^2-v_1^2）+\frac{1}{6}mgh$
解得 $Q=\frac{1}{2}m（v_0^2-v_1^2）+\frac{mgqR}{{6{B_0}L}}$
答：（1）月球的质量为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$，半径为$\frac{2πr}{T}$$\sqrt{\frac{6r}{g}}$；
（2）为使探测器主体做减速运动，匀强磁场的磁感应强度B应满足的条件是B＞$\frac{1}{L}\sqrt{\frac{mgR}{{6{v_0}}}}$．
（3）该过程中线圈产生的焦耳热为$\frac{1}{2}m（{v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}）$+$\frac{mgqR}{6{B}_{0}L}$．

点评 对于卫星问题，关键要掌握两条基本思路：万有引力等于向心力及万有引力等于重力．对于电磁感应，知道已知电荷，往往能求出距离，运用能量守恒求解热量．

练习册系列答案
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9．2011年3月11日．日本福岛核电站发生核泄漏事故，其中艳137（541Cs ）对核辐射的影响最大，其半衰期约为30年．
①请写出艳137（${\;}_{55}^{137}$Cs）发生β衰变的核反应方程${\;}_{55}^{137}$Cs→${\;}_{56}^{137}$Ba+${\;}_{-1}^{0}$e（可设新核符号为X）
②泄露出的艳137大约要经过90年到才会有87.5%的原子核发生衰变．
10．如图所示，以直角三角形AOC为边界的有界匀强磁场区域，磁感应强度为B，∠A=60°，AO=L，在O点放置一个粒子源，可以向各个方向发射某种带负电粒子．已知粒子的比荷为$\frac{q}{m}$，发射速度大小都为v0=$\frac{qBL}{m}$．设粒子发射方向与OC边的夹角为θ，不计粒子间相互作用及重力．对于粒子进入磁场后的运动，下列说法正确的是（　　）
A．当θ=45°时，粒子将从AC边射出
B．所有从OA边射出的粒子在磁场中运动时间相等
C．随着θ角的增大，粒子在磁场中运动的时间先变大后变小
D．在AC边界上只有一半区域有粒子射出
7．如图两摆摆长相同，悬挂于同一高度，A、B两摆球体积均很小，当两摆均处于自由静止状态时，其侧面刚好接触．向右上方拉动B球使其摆线伸直并与竖直方向成60°角，然后将其由静止释放．在最低点两摆球粘在一起摆动，且最大摆角成37°，忽略空气阻力．求：
①A球和B球质量之比
②两球在碰撞过程中损失的机械能与B球在碰前的最大动能之比．
14．如图所示，上端开口、下端封闭的细长玻璃管竖直放置，长24cm的水银柱将12cm的空气柱封闭在管的下端，此时水银面恰好与管口平齐．已知大气压强为p0=76cmHg，果使玻璃管绕底端在竖直平面内缓慢地转动180°，求在开口向下时管中空气柱的长度．空气视为理想气体，转动中，没有发生漏气．
4．某高速公路的一个出口路段如图所示，情景简化：轿车从出口A进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至B点（通过B点前后速率不变），再匀速率通过水平圆弧路段至C点，最后从C点沿平直路段匀减速到D点停下．已知轿车在A点的速度v0=72km/h，AB长L1=l50m；BC为四分之一水平圆弧段，限速（允许通过的最大速度）v=36km/h，轮胎与BC段路面间的动摩擦因数μ=0.5，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD段为平直路段长L2=50m，重力加速度g取l0m/s2．
（1）若轿车到达B点速度刚好为v=36km/h，求轿车在AB下坡段加速度的大小；
（2）为保证行车安全，车轮不打滑，求水平圆弧段BC半径R的最小值；
（3）轿车A点到D点全程的最短时间．
11．如图所示，一带负电的离子在某一正点电荷Q形成的电场中，Q位于虚线MN上某处，离子只在电场力的作用下运动轨迹如图中实线所示，轨迹相对水平轴线MN对称，A、B、C为轨迹上的点，B点位于轨迹的最右端，以下说法中可能正确的是（　　）
A．正点电荷Q一定在B点左侧
B．离子在B点轨迹变形最大、故加速度一定最大
C．离子在B点的动能最小、电势能可能最大
D．离子在A、B两点时受到的电场力相同
8．如图甲所示，A1是边长为L的单匝正方形金属框，框内有垂直于纸面向里的磁场，磁感应强度B1的大小随时间的关系如图乙．M、N为平行板电容器的两个极板，其长度和间距都为L，在两板右端的虚线右侧有范围足够大、方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小B2=$\frac{3}{4}$B0；在两板左边缘中央处有一粒子发射器A2，从t=0时刻开始连续不断地水平向右发射比荷为$\frac{q}{m}$=$\frac{1}{{B}_{0}{t}_{0}}$、初速度为v0=$\frac{L}{2{t}_{0}}$带正电的粒子．已知电路中金属框电阻为R0，接入电路的滑动变阻器阻值R=R0，其余电阻不计．（不考虑带电粒子的重力和空气阻力，不考虑电容器充放电所用的时间）．则：

（1）在0～t0内，极板M、N哪一个板电势高，两板间的电压U为多大？
（2）通过计算判断，在t=0时刻发射的带电粒子，能否经电、磁场偏转后回到两平行板间？
（3）何时发射的且不与极板碰撞的粒子在磁场中运动的时间最长，其 最长时间为多大？
9．如图所示，在坐标原点的波源产生一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速v=200m/s，已知t=0时，波刚好传播到x=40m处．在x′=400m处有一处于静止状态的接收器（图中未画出），则下列说法正确的是（　　）
A．波源振动周期为0.1s
B．波源开始振动时方向沿y轴正方向
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D．接收器在t=1.8s时开始接收此波
E．若波源向x轴正方向运动，接收器接收到的波的频率可能为15Hz

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