Question

8．某次摩托车的特技表演可简化为如下模型，AB是长度为x的水平顶，BC是半径为2R的$\frac{1}{4}$圆弧，DEG是半径为R的$\frac{3}{4}$圆弧，D点在C点正上方，G点距右侧水平面高度为R，质量为m的摩托车（可视为质点）在大小恒定的牵引力F作用下从A点由静止出发，牵引力在ABC段的大小恒为F，摩托车经过C点时关闭发动机，之后沿竖直方向从D点进入上面的轨道做圆周运动，从G点脱离上方轨道，进入右侧水平面，已知重力加速度为g，假设在ABC段摩托车所受阻力恒定，且为重力的k倍，忽略其在DEG段及空气中所受的阻力
（1）为了使摩托车能安全通过轨道，求力F的最小值；
（2）若摩托车离开C点速度大小是$\sqrt{10gR}$，判断摩托车能否安全通过上方圆弧轨道，若不能通过，计算在C点时应具有的最小速度；若能通过，求摩托车落在右侧水平面的位置距离C点多远．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出E点的最小速度，对A到E过程运用动能定理，求出F的最小值．
（2）对C到E段运用动能定理，求出E点的速度，从而判断能否通过上方圆弧轨道．若能通过，根据动能定理求出G点的速度，结合高度求出平抛运动的时间，从而求出水平位移，得出摩托车落在右侧水平面的位置距离C点多远．

解答 解：（1）为了使摩托车安全通过轨道，在E点有最小速度，根据$mg=m\frac{{{v}_{E}}^{2}}{R}$，
解得${v}_{E}=\sqrt{gR}$，
对A到E的过程运用动能定理得，F（x+πR）-kmg（x+πR）-mg（2R+R+2R）=$\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}-0$，
解得最小F=$\frac{5.5mgR+kmg（x+πR）}{x+πR}$．
（2）对C到E运用动能定理得，$-mg•3R=\frac{1}{2}m{{v}_{E}′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$，
解得v_E′=$\sqrt{4gR}$＞v_E，知摩托车能安全通过上方的圆弧轨道，
对C到G点运用动能定理得，$-mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{G}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}$，
解得v_G=$\sqrt{8gR}$，
根据R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
则摩托车落在右侧水平面的位置距离C点的距离x=v_Gt-R=4R-R=3R．
答：（1）力F的最小值为$\frac{5.5mgR+kmg（x+πR）}{x+πR}$．
（2）能安全通过上方圆弧轨道，摩托车落在右侧水平面的位置距离C点3R．

点评 本题考查了动能定理和圆周运动和平抛运动的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，以及平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律是解决本题的关键．