Question

2．位于竖直平面内的矩形平面导线框abdc，ab长L₁=1.0m，bd长L₂=0.5m，线框的质量m=0.2kg，电阻R=2Ω．其下方有一匀强磁场区域，该区域的上、下边界PP′和QQ′均与ab平行．两边界间距离为H，H＞L₂，磁场的磁感应强度B=1.0T，方向与线框平面垂直．如图27所示，令线框的dc边从离磁场区域上边界PP′的距离为h=0.7m处自由下落．已知线框的dc边进入磁场以后，ab边到达边界PP′之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值．问从线框开始下落，到dc边刚刚到达磁场区域下边界QQ′的过程中，磁场作用于线框的安培力所做的总功为多少？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 进入磁场后先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动，速度达到最大，根据重力与安培力平衡，求出最大速度．线框从达到最大速度到ab到达磁场的上边界PP′，线框的速度保持v₀不变，根据动能定理研究从线框自由下落至ab边进入磁场的过程中安培力做功，即可求出安培力做的总功．

解答 解：设线框进入磁场的过程中最大速度为v_m，达到最大速度时：
mg=BIL₁=$\frac{{B}^{2}{L}_{1}^{2}{v}_{m}}{R}$
则：v_m=$\frac{mgR}{{B}^{2}{L}_{1}^{2}}$=$\frac{0.2×10×2}{{1}^{2}×{1}^{2}}$=4m/s
从达到最大速度到线框的ab到达磁场的上边界PP′，线框的速度保持v_m不变，故从线框自由下落至ab边进入磁场的过程中，由动能定理得：
mg（h+L₂）+W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
所以有：W_安=$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$-mg（h+L₂）=-0.8J
ab边进入磁场后，直到dc边到达磁场下边界QQ′的过程中，线框只在重力作用下做匀加速运动，磁通量不变，没有感应电流产生，整个线框的安培力为零，安培力做功也为零，故从开始下落到dc边刚到达磁场区域下边界QQ′的过程中，安培力做的总功即为线框自由下落至ab边进入磁场的过程中安培力所做的功即：W_安=-0.8J
答：从线框开始下落到dc边刚刚到达磁场区域下边界QQ′的过程中，磁场作用于线框的安培力做的总功为-0.8J．

点评 本题线框进入磁场的过程与汽车恒定功率起动类似，要会进行动态过程分析，并能熟练应用安培力的经验公式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$求解最大速度．