Question

11．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体．一个矿井深度为d，求矿井底部和地球表面处的重力加速度大小之比．某同学的思考过程如下：
由等式GM=gR²（G为引力常量，M为地球质量，R为地球半径，g为地球表面处的重力加速度）变形后得到g=$\frac{GM}{{R}^{2}}$，则矿井底部的重力加速度g′与地球表面处的重力加速度g大小之比为$\frac{g′}{g}$=$\frac{{R}^{2}}{（R-d）^{2}}$．下列说法中正确的是（　　）

• A． 该同学的答案是正确的
• B． 该同学的答案是错误的，因为等式GM=gR²不成立
• C． 该同学的答案是错误的，因为本题不能用等式GM=gR²求解
• D． 该同学的答案是错误的，本题虽然能用等式GM=gR²求解，但他分析问题时出现错误

Answer 1

分析 根据题意知，地球表面的重力加速度等于半径为R的球体在表面产生的加速度，矿井深度为d的井底的加速度相当于半径为R-d的球体在其表面产生的加速度，根据地球质量分布均匀得到加速度的表达式，再根据半径关系求解即可．

解答 解：该同学分析时随明确在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，但是没有理解“质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为d的井底，受到地球的万有引力即为半径等于（R-d）的球体在其表面产生的万有引力”，所以才出现错误的答案，故ABC错误，D正确．
故选：D．

点评 抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在矿井底部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为（R-d）的球体的质量．