Question

2．2009年9月17曰科学家在太阳系外发现了首个密度接近地球的COROT-7b行星，其质量约为地球的5倍．假定地球的第一宇宙速度Vo，可认为该行星密度和地球密度相等，质量是地球质量的5倍．己知质量为Ⅲ的物体离行星球心距离r处的引力势能为E_p=-$\frac{GMm}{r}$，其中G为万有引力常量，且行星和地球均可看作质量分布均匀的球体．
求：
（1）该行星的第一宇宙速度？
（2）该行星的第二宇宙速度？

Answer 1

分析 （1）一宇宙速度等于卫星绕行星附近做匀速圆周运动的速度，卫星的向心力由行星的万有引力提供，结合密度公式，列式求解；
（2）根据能量关系结合第二宇宙速度的定义求解．

解答 解：（1）设行星和地球的半径分别为R₁和R₂，质量分别为M₁和M₂，密度为ρ，将星球看作质量分别均匀的球体，则：
对行星有：M₁=$\frac{4}{3}$πR₁³ρ
对地球有：M₂=$\frac{4}{3}$πR₂³ρ，且5M₂=M₁
解得：R₁=$\root{3}{5}$R₂
设环绕行星表面运行的近地卫星的线速度为v₁，卫星的质量为m，则：
由万有引力提供向心力可得：G$\frac{{M}_{1}m}{{R}_{1}^{2}}$=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
解得：v₁=$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$
而第一宇宙速度和近地卫星的环绕速度相等，所以该行星的第一宇宙速度也是v₁=$\sqrt{\frac{G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$
同理，地球的第一宇宙速度为v₀=$\sqrt{\frac{G{M}_{2}}{{R}_{2}}}$
解得：v₁=$\root{3}{5}$v₀
（2）设想在该行星表面竖直上抛一个物体恰能脱离行星系统，该物体的抛出速度恰等于第二宇宙速度．
设离行星无穷远处引力势能为0，抛出物体的初速度v₂，质量为m₀，则：$\frac{1}{2}$m₀v₂²-G$\frac{{M}_{1}{m}_{0}}{{R}_{1}}$=0
解得：v₂=$\sqrt{\frac{2G{M}_{1}}{{R}_{1}}}$=$\sqrt{2}$v₁=$\root{3}{10\sqrt{2}}$v₀．
答：（1）该行星的第一宇宙速度为$\root{3}{5}$v₀；
（2）该行星的第二宇宙速度为$\root{3}{10\sqrt{2}}$v₀．

点评 本题首先要理解并掌握第一宇宙速度和第二宇宙速度的定义，其次掌握卫星问题常用的思路：万有引力等于向心力．