Question

1．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆形轨道，外圆ABCD的内侧光滑，内圆A′B′C′D′的上半部分外侧B′C′D′粗糙，下半部分外侧B′A′D′光滑．一质量m=0.1kg的小球从轨道的最低点A，以初速度v₀向右运动，球的尺寸略小于两圆间距，球运动的半径R=0.2m，取g=10m/s²．
（1）若要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少为多少？
（2）若v₀=3m/s，经过一段时间小球到达最高点，此时内轨道对小球的支持力F_N=1N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？
（3）若v₀=$2\sqrt{2}$m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时受到的支持力为多少？小球在整个运动过程中减少的机械能是多少？

Answer 1

分析 （1）紧贴外圆做圆周运动，在最高点的临界情况是重力提供向心力，根据牛顿第二定律结合机械能守恒定律求出初速度的最小值．
（2）根据牛顿第二定律求出最高点的速度大小，根据动能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，根据动能定理和牛顿第二定律求出最低点小球所受的支持力大小，根据能量守恒求出损失的机械能．

解答 解：（1）设小球到达最高点的最小速度为v_C，则有：
  mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，不受摩擦力，只有重力做功，机械能守恒，则从A到C的过程，由机械能守恒得
  $\frac{1}{2}m{v}_{C}^{2}$+2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v₀=$\sqrt{5gR}$=$\sqrt{5×10×0.2}$=$\sqrt{10}$m/s  
（2）若v₀=3m/s，设此时小球到达最高点的速度为v_c′，克服摩擦力做的功为W，则在C′点，由牛顿第二定律得：
mg-N=m$\frac{{v}_{C}^{′2}}{R}$
从A到C′的过程，由动能定理得：
-2mgR-W=$\frac{1}{2}m{v}_{C}^{′2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据解得：W=0.05J 
（3）经足够长时间后，小球在下半圆轨道内做往复运动，设小球经过最低点的速度为v_A，受到的支持力为N_A，则有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
在A点，由牛顿第二定律得：
N_A-mg=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{R}$
代入数据，解得：N_A=3mg=3N  
设小球在整个运动过程中减少的机械能为△E，由功能关系有：
△E=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$-mgR   
代入数据解得：△E=0.25J
答：（1）要使小球始终紧贴外圆做完整的圆周运动，初速度v₀至少$\sqrt{10}$m/s．
（2）小球在这段时间内克服摩擦力做的功是0.05J．
（3）小球经过最低点A时受到的支持力为3N，小球在整个运动过程中减少的机械能是0.25J．

点评 本题综合考查了动能定理、牛顿第二定律和机械能守恒定律，综合性较强，关键是理清运动过程，抓住临界状态，运用合适的规律进行解答．